Investi €5 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €5 0005% / 4n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 12? Trova il debito residuo B.
P = €150 0003,6% / 12N = 360k = 144
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €100 000 oggi. Genera €7 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €7 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €20 000 rende €5 000 alla fine di ogni anno per 10 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €5 000n = 10
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 6%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 9 anni e quota €1 070. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 9P = €1 070
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1,5. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €49,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 6%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 13, 50, 23, 48, 53, 52, 49.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 45.
μ = 50σ = 10x = 45
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,15, 0,05
σ =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 2X − 3. Trova la deviazione standard σY di Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1Y = 2X − 3
σY =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,6443. Trova z con due decimali.
A = 0,6443
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 75 % dei dati (il 75° percentile).
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 13 elementi ha media 87 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 13x̄ = 87s = 12,595%t(12) = 2,179
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 30. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 30E = 2,599%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 199,2 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199,2s = 4n = 81
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 10E = 1,599%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (11, 71). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(11, 71)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6737 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 360
A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−360) = €681,97
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 144 = 216
B = 682·(1 − (1 + 0,003)−216)/0,003 = €108 296,84
Risposta
B = €108 296,84
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −22222 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 7 000/(0,12 − 0,03) = 77 777,78
NPV
NPV = 77 777,78 − 100 000 = −€22 222,22
Risposta
NPV = −€22 222,22
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 21,41 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−10)/i = 20 000/5 000 = 4
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 21%: 4,054
i = 22%: 3,923
IRR = 21,41%
Risposta
IRR = 21,41%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 830,6 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,03, N = 24
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,4919)/0,03 = €338,71
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4919 = €491,93
Prezzo
P = €830,64
Risposta
P = €830,64
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,015 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 070 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 071,08, P(6%) = €1 000,00
YTM = 5,015%
Risposta
YTM = 5,015%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,3 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·5%·(1 − 0,3) = 7,3%
Risposta
WACC = 7,3%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,287 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (45 − 50)/10 = −0,5
Risposta
z = −0,5
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,114
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 1,3, Var(X) = 0,91, σX = 0,9539
Trasformazione lineare
σY = |2|·0,9539 = 1,908
Risposta
σY = 1,908
La media invece si sposta: E(Y) = 2·1,3 − 3 = −0,4.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = −0,37
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,6443 = 0,3557
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,3557 dentro la tabella e leggi z.
z = −0,37
Risposta
z = −0,37
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 527 h
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Ritorno a x
x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h
Risposta
x = 526,98 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 79,45
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margine di errore
E = 2,179·12,5/√13 = 7,554
Intervallo
87 ± 7,554 → [79,45, 94,55]
Risposta
limite inferiore = 79,45
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 956
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·30/2,5)² = 955,6
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 956
Risposta
n = 956
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Statistica test
t = (199,2 − 200)/0,4444 = −1,8
Risposta
t = −1,8
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 295
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·10/1,5)² = 294,9
Arrotonda per eccesso
n = 295
Risposta
n = 295
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9985
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 5027 − 48·565/6 = 507
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 56887 − 565²/6 = 3683
Coefficiente di correlazione
r = 507/√(70·3683) = 0,9985
Risposta
r = 0,9985
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −4,743
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 342/6 = 57
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 328
Retta di regressione
b = 328/70 = 4,686
a = 57 − 4,686·7 = 24,2
ŷ = 24,2 + 4,686·x
Valore previsto
ŷ = 24,2 + 4,686·11 = 75,74
Residuo
e = 71 − 75,74 = −4,743
Risposta
e = −4,743
Il punto si trova sotto la retta.
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