Elettrotecnica 2: circuiti in corrente alternata: pacchetto last-minute

Forma polare: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, con r = |z| e θ = arg z. Per tornare alla forma cartesiana: a = r cos θ, b = r sin θ. L’argomento richiede il quadrante: θ = atan(b/a) solo quando a > 0; per a < 0 somma o sottrai 180°. In forma polare la moltiplicazione è facile: moltiplica i moduli e somma gli argomenti; per la divisione dividi i moduli e sottrai gli argomenti.

De Moivre e radici: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’equazione zⁿ = R∠φ ha esattamente n radici, tutte con modulo R^1/n, agli argomenti (φ + 360°·k)/n per k = 0, 1, …, n − 1: giacciono equidistanziate su una circonferenza, a 360°/n l’una dall’altra. Un’equazione quadratica z² + pz + q = 0 con p² < 4q ha le radici complesse z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio a coefficienti reali ha sempre le radici complesse in coppie coniugate a ± jb.

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Potenza in AC: la potenza apparente S = V·I (VA) si divide in potenza attiva P = S·cos φ (W), che compie lavoro utile, e potenza reattiva Q = S·sin φ (var), che oscilla tra generatore e carico. Il fattore di potenza è cos φ. Un condensatore in parallelo fornisce potenza reattiva localmente, quindi la corrente di linea diminuisce a parità di potenza attiva.

Potenza in AC: la potenza apparente S = V·I (VA) si divide in potenza attiva P = S·cos φ (W), che compie lavoro utile, e potenza reattiva Q = S·sin φ (var), che oscilla tra generatore e carico. Il fattore di potenza è cos φ. Un condensatore in parallelo fornisce potenza reattiva localmente, quindi la corrente di linea diminuisce a parità di potenza attiva.

Risonanza LC: un condensatore carico collegato a un induttore fa passare una corrente che lo carica nel verso opposto: l’energia oscilla tra il campo elettrico di C (½Cv²) e il campo magnetico di L (½Li²) alla frequenza naturale f₀ = 1/(2π√(LC)). Senza resistenza l’energia totale ½CV₀² resta costante, quindi la corrente di picco è I_max = V₀√(C/L). Un periodo è T = 1/f₀; l’energia passa da C a L in un quarto di esso.

Fattore Q e larghezza di banda: in un circuito risonante Q = 2π·(energia immagazzinata)/(energia persa per ciclo). Per l’RLC serie Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); per l’RLC parallelo Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). La larghezza di banda tra le frequenze di mezza potenza f₁ e f₂ (dove la potenza è metà e la corrente o la tensione è 1/√2 del picco) è BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, cioè R/(2πL) in serie e 1/(2πRC) in parallelo. La frequenza di risonanza è la media geometrica f₀ = √(f₁f₂), e f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Le perdite fanno anche smorzare l’oscillazione: nell’RLC serie l’ampiezza diminuisce come e^−Rt/(2L).

Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, V_L = √3·V_ph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, I_L = √3·I_ph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ.

Sistemi trifase equilibrati: in un collegamento a stella (Y) la tensione concatenata è √3 volte la tensione di fase, V_L = √3·V_ph, e la corrente di linea è uguale alla corrente di fase. In un collegamento a triangolo (Δ) la tensione concatenata è uguale alla tensione di fase e la corrente di linea è √3 volte la corrente di fase, I_L = √3·I_ph. La potenza totale è tre volte la potenza di una fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Rifasamento: i condensatori forniscono localmente potenza reattiva, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Ciascuno dei tre condensatori fornisce Q_C/3 = V²·ω·C, dove V è la tensione ai capi di quel condensatore: V_L in una batteria a triangolo, V_L/√3 in una batteria a stella.

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione V_th in serie con una resistenza R_th. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente I_N = V_th/R_th in parallelo con R_th.

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione V_th in serie con una resistenza R_th. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente I_N = V_th/R_th in parallelo con R_th.

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ω_c = 1/(RC) oppure R/L, e f_c = ω_c/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsazione di attraversamento della fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ω_c = 1/(RC) oppure R/L, e f_c = ω_c/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsazione di attraversamento della fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.