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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 2 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0003,6% / 4n = 2
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €23 000, €29 000, €15 000, €22 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €25 500, €33 000, €32 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 25 500CF2 = 33 000CF3 = 32 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 3%n = 4
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €925 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 5 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 100 punti base.
P0 = €925y = 3%D = 5Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €38,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10,5%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 1 280 unità a €25 l’una. Il costo variabile è €15 per unità e i costi fissi sono €8 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 1 280p = €25v = €15F = €8 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €15 l'unità, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €12 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 800 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €12 000p = €15v = €12budget = 4 800
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 13962 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·2 = 8
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,074 = €13 962,46
Risposta
PV = €13 962,46
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 328,1 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,9086
A = 15 000·0,002/(1 − 0,9086) = €328,05
Risposta
A = €328,05
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 17528 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 23 000/1,06 = 21 698,11
CF2/(1 + 0,06)2 = 29 000/1,124 = 25 809,90
CF3/(1 + 0,06)3 = 15 000/1,191 = 12 594,29
CF4/(1 + 0,06)4 = 22 000/1,262 = 17 426,06
Sommali
NPV = €17 528,36
Risposta
NPV = €17 528,36
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 35 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 2,03
NPV(40%) = −3 287,17
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 35 + 5·2,03/(2,03 − (−3 287,17)) = 35%
esatto: NPV(35%) = 0 → IRR = 35%
Risposta
IRR = 35%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1037 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,015, N = 8
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,8877)/0,015 = €149,72
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8877 = €887,71
Prezzo
P = €1 037,43
Risposta
P = €1 037,43
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 969,9 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 5/1,03 = 4,854
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −4,854·(−0,01) = 4,854%
P ≈ 925·(1 + 0,04854) = €969,90
Risposta
P = €969,90
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,166 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 1 280·(25 − 15) = €12 800
Utile operativo
Π = 12 800 − 8 000 = €4 800
DOL
DOL = 12 800/4 800 = 2,667
Risposta
DOL = 2,667
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 16,67 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).