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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 3%r = 5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0004,8% / 12N = 240
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €12 000, €15 000, €13 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €11 500, €15 000, €15 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 15 000CF3 = 15 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 3,5%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 6%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 4%n = 5YTM = 6%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,2. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio è del 2% e il premio per il rischio di mercato è del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,2D/E = 1T = 25%rf = 2%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €28 l'unità con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €15 000p = €28v = €25utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €6 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €5 000 all'anno. Le vendite a budget sono 3 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €5 000p = €6v = €4budget = 3 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 100000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·20 = 240
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,3836
A = 250 000·0,004/(1 − 0,3836) = €1 622,39
Risposta
A = €1 622,39
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 4928 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 12 000/1,07 = 11 214,95
CF2/(1 + 0,07)2 = 15 000/1,145 = 13 101,58
CF3/(1 + 0,07)3 = 13 000/1,225 = 10 611,87
Sommali
NPV = €4 928,41
Risposta
NPV = €4 928,41
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 28,77 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 1 480,00
NPV(30%) = −450,61
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,0175, N = 24
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,6594)/0,0175 = €194,61
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6594 = €659,44
Prezzo
P = €854,04
Risposta
P = €854,04
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 4,611 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 40/1,06 = 37,74, t·PV = 37,74
t = 2: 40/1,124 = 35,60, t·PV = 71,20
t = 3: 40/1,191 = 33,58, t·PV = 100,75
t = 4: 40/1,262 = 31,68, t·PV = 126,73
t = 5: 1040/1,338 = 777,15, t·PV = 3 885,74
Duration
P = 915,75
D = 4 222,17/915,75 = 4,611
Risposta
D = 4,611 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,66 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 7,66%
Risposta
WACC = 7,66%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 11,45 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,2·(1 + 0,75·1) = 2,1
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 2,1·4,5% = 11,45%
Risposta
re = 11,45%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 7000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).