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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €500 alla fine di ogni anno per 17 anni. Il tasso di interesse è il 7% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €500i = 7%n = 17
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0005,4% / 12N = 72
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi. Genera €30 000 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €12 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF = €30 000S = €12 000n = 3r = 6%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e rende €10 500, €7 000, €11 500, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 7%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 8%n = 3YTM = 3,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,75. Il suo costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 0,75re = 8%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €34,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 6,5%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €19 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €30 000p = €19v = €4utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €30 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €48 000 all'anno. Le vendite a budget sono 5 600 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €48 000p = €30v = €18budget = 5 600
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4882 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3166)/0,07 = 9,763
Valore attuale
PV = 500·9,763 = €4 881,61
Risposta
PV = €4 881,61
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 325,8 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7238
A = 20 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €325,82
Risposta
A = €325,82
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 10266 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
10 500·1,123 = 14 751,74
7 000·1,122 = 8 780,80
11 500·1,121 = 12 880,00
9 500·1,120 = 9 500,00
TV = 45 912,54
MIRR
MIRR = (45 912,54/20 000)1/4 − 1 = 23,09%
Risposta
MIRR = 23,09%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 678,8 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,035, N = 24
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,438)/0,035 = €240,88
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,438 = €437,96
Prezzo
P = €678,83
Risposta
P = €678,83
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 2,796 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 80/1,035 = 77,29, t·PV = 77,29
t = 2: 80/1,071 = 74,68, t·PV = 149,36
t = 3: 1080/1,109 = 974,10, t·PV = 2 922,29
Duration
P = 1 126,07
D = 3 148,95/1 126,07 = 2,796
Risposta
D = 2,796 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,525 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·8% + 0,4286·3%·(1 − 0,258) = 5,525%
Risposta
WACC = 5,525%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 3,868 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).