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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €3 0003,6% / 12n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0006% / 12N = 72
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €11 000, €12 000, €10 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €11 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 5. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €11 000g = 3%n = 5r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 5,5%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 100 con un rendimento a scadenza del 5% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 6,4 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 75 punti base.
P0 = €1 100y = 5%D = 6,4Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €500 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,6. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio è del 4% e il premio per il rischio di mercato è del 4%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,6D/E = 0,4T = 30%rf = 4%rm − rf = 4%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 7 500 unità a €26 l’una. Il costo variabile è €18 per unità e i costi fissi sono €20 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 7 500p = €26v = €18F = €20 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €47 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €1 600 all'anno. Le vendite a budget sono 1 120 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €1 600p = €47v = €45budget = 1 120
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4298 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,6983
A = 15 000·0,005/(1 − 0,6983) = €248,59
Risposta
A = €248,59
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1075 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 11 000/1,07 = 10 280,37
CF2/(1 + 0,07)2 = 12 000/1,145 = 10 481,26
CF3/(1 + 0,07)3 = 10 000/1,225 = 8 162,98
Sommali
NPV = €−1 075,38
Risposta
NPV = €−1 075,38
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −5971 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,03)/(1,1))5 = 0,7198
PV = 11 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,7198) = 44 028,60
NPV
NPV = 44 028,60 − 50 000 = −€5 971,40
Risposta
NPV = −€5 971,40
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1032 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,0275, N = 16
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,6479)/0,0275 = €384,14
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6479 = €647,87
Prezzo
P = €1 032,01
Risposta
P = €1 032,01
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1050 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 6,4/1,05 = 6,095
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −6,095·(0,0075) = −4,571%
P ≈ 1100·(1 − 0,04571) = €1 049,71
Risposta
P = €1 049,71
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,3 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,6·(1 + 0,7·0,4) = 0,768
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 0,768·4% = 7,072%
Risposta
re = 7,072%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: DOL = 1,5
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 7 500·(26 − 18) = €60 000
Utile operativo
Π = 60 000 − 20 000 = €40 000
DOL
DOL = 60 000/40 000 = 1,5
Risposta
DOL = 1,5
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 28,57 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).