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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €8 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il tasso di interesse è il 7% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €8 000i = 7%n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 7? Trova il debito residuo B.
P = €300 0002,4% / 12N = 360k = 84
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €500 000 oggi. Genera €27 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €27 000g = 4%r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €10 000 e rende €6 000, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €12 000 e rende €3 500, €5 000, €6 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 9%n = 11
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Viene venduta a €1 057. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 5% (2×)n = 3P = €1 057
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
E = €6 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €10,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 6,5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €25 000 all’anno e un costo variabile di €15 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €41 000 all’anno e un costo variabile di €11 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €25 000vA = €15FB = €41 000vB = €11
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €17 con un costo variabile di €12; il prodotto B si vende a €30 con un costo variabile di €10. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €12 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €17, vA = €12pB = €30, vB = €10A : B = 2 : 1F = €12 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 38132 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6663)/0,07 = 4,767
Valore attuale
PV = 8 000·4,767 = €38 132,32
Risposta
PV = €38 132,32
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 247936 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 84 = 276
B = 1170·(1 − (1 + 0,002)−276)/0,002 = €247 935,70
Risposta
B = €247 935,70
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −50000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 27 000/(0,1 − 0,04) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00
Risposta
NPV = −€50 000,00
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 4,802 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
TIR della differenza
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Risposta
r* = 4,802%
Verifica: al 4,802% entrambi i VAN valgono €1 538,82.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 793,2 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,045, N = 22
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,3797)/0,045 = €413,53
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,3797 = €379,70
Prezzo
P = €793,23
Risposta
P = €793,23
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,999 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, N = 6
Risolvi numericamente
i = 1,5% per semestre
YTM
YTM = 2·1,5% = 2,999%
Risposta
YTM = 2,999%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,36 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·9% + 0,4·3%·(1 − 0,2) = 6,36%
Risposta
WACC = 6,36%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,383 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
25 000 + 15Q = 41 000 + 11Q
Ricava Q
Q = (41 000 − 25 000)/(15 − 11) = 4 000
Risposta
Q = 4 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1200 unità
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.