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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €25 000 tra 4 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €25 0002% / 12n = 4
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €300 alla fine di ogni mese per 30 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €3002,4% / 12N = 360
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €26 000, €29 000, €16 000, €22 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €31 500, €25 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 31 500CF2 = 25 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 7%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 8 anni e quota €860. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 8P = €860
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 11,03%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €6 000 000 e un costo del capitale proprio del 11%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 6%, 9 anni alla scadenza) quotate €1 071 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €24 l'unità con un costo variabile di €20 per unità. I costi fissi sono €4 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €4 000p = €24v = €20utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €8 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 7 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €20 000p = €8v = €4budget = 7 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 23079 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·4 = 48
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,083 = €23 079,45
Risposta
PV = €23 079,45
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 157943 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 26 000/1,09 = 23 853,21
CF2/(1 + 0,09)2 = 29 000/1,188 = 24 408,72
CF3/(1 + 0,09)3 = 16 000/1,295 = 12 354,94
CF4/(1 + 0,09)4 = 22 000/1,412 = 15 585,35
Sommali
NPV = €16 202,22
Risposta
NPV = €16 202,22
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,553 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 3 129,25
NPV(10%) = −289,26
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,035, N = 12
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,6618)/0,035 = €144,95
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6618 = €661,78
Prezzo
P = €806,73
Risposta
P = €806,73
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,481 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€860 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(8%) = €885,07, P(9%) = €833,96
YTM = 8,481%
Risposta
YTM = 8,481%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 14 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
Parte del debito nel WACC
0,2857·4,5%·(1 − 0,2) = 1,029%
Costo del capitale proprio
re = (11,03% − 1,029%)/0,7143 = 14%
Risposta
re = 14%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,159 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).