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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 5 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0004% / 12n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €8 0004,2% / 12N = 36
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €6 000, €4 000, €7 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €14 500, €12 500, €13 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 14 500CF2 = 12 500CF3 = 13 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 7 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 7y0 = 3%y1 = 4%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Viene venduta a €1 048. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 3% (2×)n = 11P = €1 048
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €38,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 630 unità a €11 l’una. Il costo variabile è €6 per unità e i costi fissi sono €2 500. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 630p = €11v = €6F = €2 500
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 750 unità a €16 l’una, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €15 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 20%?
Q = 3 750p = €16v = €6F = €15 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 8190 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·5 = 60
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,221 = €8 190,03
Risposta
PV = €8 190,03
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 236,9 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·3 = 36
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8818
A = 8 000·0,0035/(1 − 0,8818) = €236,90
Risposta
A = €236,90
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2564 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 6 000/1,12 = 5 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 6 000/1,254 = 4 783,16
CF3/(1 + 0,12)3 = 4 000/1,405 = 2 847,12
CF4/(1 + 0,12)4 = 7 000/1,574 = 4 448,63
Sommali
NPV = €−2 563,95
Risposta
NPV = €−2 563,95
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 46,57 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(45%) = 373,53
NPV(50%) = −777,78
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 45 + 5·373,53/(373,53 − (−777,78)) = 46,62%
esatto: NPV(46,57%) = 0 → IRR = 46,57%
Risposta
IRR = 46,57%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −1,664 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, N = 22
Risolvi numericamente
i = 1,249% per semestre
YTM
YTM = 2·1,249% = 2,498%
Risposta
YTM = 2,498%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,545 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·14% + 0,4545·6%·(1 − 0,3) = 9,545%
Risposta
WACC = 9,545%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,237 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 630·(11 − 6) = €3 150
Utile operativo
Π = 3 150 − 2 500 = €650
DOL
DOL = 3 150/650 = 4,846
Risposta
DOL = 4,846
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 33,33 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.