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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 6 anni. Un conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0003% / 12n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 7 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €30 0002,4% / 12N = 84
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €17 000, €12 000, €13 000, €14 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 000, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 14 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 5,5%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 8%n = 3YTM = 5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,4. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
D/E = 0,4re = 9%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,75. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il premio per il rischio di mercato è del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 0,75T = 21%rf = 2,5%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €16 l'unità con un costo variabile di €6 per unità. I costi fissi sono €40 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €40 000p = €16v = €6utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €12 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €20 000p = €12v = €4budget = 4 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 8355 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·6 = 72
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,197 = €8 354,58
Risposta
PV = €8 354,58
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 2620 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,002, N = 84
A = 30 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−84) = €388,34
Interessi totali
I = N·A − P = 84·388,3 − 30 000 = €2 620,45
Risposta
I = €2 620,45
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 4823 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 17 000/1,05 = 16 190,48
CF2/(1 + 0,05)2 = 12 000/1,103 = 10 884,35
CF3/(1 + 0,05)3 = 13 000/1,158 = 11 229,89
CF4/(1 + 0,05)4 = 14 000/1,216 = 11 517,83
Sommali
NPV = €4 822,55
Risposta
NPV = €4 822,55
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,61 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 1 528,93
NPV(15%) = −122,87
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,0275, N = 18
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,6137)/0,0275 = €351,22
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6137 = €613,66
Prezzo
P = €964,88
Risposta
P = €964,88
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 2,792 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 80/1,05 = 76,19, t·PV = 76,19
t = 2: 80/1,103 = 72,56, t·PV = 145,12
t = 3: 1080/1,158 = 932,94, t·PV = 2 798,83
Duration
P = 1 081,70
D = 3 020,15/1 081,70 = 2,792
Risposta
D = 2,792 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,114 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·9% + 0,2857·3%·(1 − 0,2) = 7,114%
Risposta
WACC = 7,114%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 12,13 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,79·0,75) = 1,752
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,752·5,5% = 12,13%
Risposta
re = 12,13%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5200 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).