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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €12 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 2 anni.
PV = €12 0003% / 12n = 2
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 17 anni. Il conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1506% / 12N = 204
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi. Genera €14 500 alla fine di ogni anno per 7 anni e poi può essere venduta a €16 000. Il costo del capitale è il 6%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF = €14 500S = €16 000n = 7r = 6%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e rende €17 000, €15 500, €19 000, €18 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 3 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 027 quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 3P = €1 027YTM = 6%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 10 anni e quota €925. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 10P = €925
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,4. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
D/E = 0,4re = 13%rd = 4%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,5. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 2,5% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €10 000 all’anno e un costo variabile di €20 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €20 000 all’anno e un costo variabile di €18 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €10 000vA = €20FB = €20 000vB = €18
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 8 000 unità a €50 l’una, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €100 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 15%?
Q = 8 000p = €50v = €30F = €100 000%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 12741 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
17 000·1,13 = 22 627,00
15 500·1,12 = 18 755,00
19 000·1,11 = 20 900,00
18 000·1,10 = 18 000,00
TV = 80 282,00
MIRR
MIRR = (80 282,00/40 000)1/4 − 1 = 19,03%
Risposta
MIRR = 19,03%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 7,01 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,06)−3 = €839,62
Cedola
C = (1027 − 839,62)/2,673 = €70,10
Tasso cedolare
c = 70,1/1000 = 7,01%
Risposta
c = 7,01%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,97 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€925 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €922,78
YTM = 4,97%
Risposta
YTM = 4,97%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,11 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·13% + 0,2857·4%·(1 − 0,28) = 10,11%
Risposta
WACC = 10,11%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 8,942 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 0,9/(1 + 0,75·0,25) = 0,7579
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,7579·(1 + 0,75·1,5) = 1,611
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,611·4% = 8,942%
Risposta
re = 8,942%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
10 000 + 20Q = 20 000 + 18Q
Ricava Q
Q = (20 000 − 10 000)/(20 − 18) = 5 000
Risposta
Q = 5 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 40 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.