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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €5 0002% / 4n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €8 000 al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €175 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €8 000A = €1755,4% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €29 000, €24 000, €36 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €7 000, €13 500, €10 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 13 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 6 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €908 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 6P = €908YTM = 8%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 3 anni e quota €1 045. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 3P = €1 045
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,8. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,75. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio è del 2% e il premio per il rischio di mercato è del 7%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,8D/E = 0,75T = 20%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 1 500 unità a €35 l’una. Il costo variabile è €15 per unità e i costi fissi sono €24 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 1 500p = €35v = €15F = €24 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 500 unità al mese a €9 l’una, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €3 600 al mese. Il costo variabile aumenta di €1 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 1 500p = €9v = €6 → €7F = €3 600
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6104 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,0045/175 = 0,7943
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,7943)/ln(1,004) = 51,3
Arrotonda a rate intere
51 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 52
Risposta
N = 52 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 2452 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 29 000/1,07 = 27 102,80
CF2/(1 + 0,07)2 = 24 000/1,145 = 20 962,53
CF3/(1 + 0,07)3 = 36 000/1,225 = 29 386,72
Sommali
NPV = €2 452,06
Risposta
NPV = €2 452,06
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 22,96 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 995,37
NPV(25%) = −640,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 20 + 5·995,37/(995,37 − (−640,00)) = 23,04%
esatto: NPV(22,96%) = 0 → IRR = 22,96%
Risposta
IRR = 22,96%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 6,01 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,08)−6 = €630,17
Cedola
C = (908 − 630,17)/4,623 = €60,10
Tasso cedolare
c = 60,1/1000 = 6,01%
Risposta
c = 6,01%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,427 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 045 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 057,68, P(3%) = €1 028,29
YTM = 2,427%
Risposta
YTM = 2,427%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,59 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·11% + 0,2·5%·(1 − 0,21) = 9,59%
Risposta
WACC = 9,59%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,96 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,8·(1 + 0,8·0,75) = 1,28
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,28·7% = 10,96%
Risposta
re = 10,96%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: DOL = 5
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 1 500·(35 − 15) = €30 000
Utile operativo
Π = 30 000 − 24 000 = €6 000
DOL
DOL = 30 000/6 000 = 5
Risposta
DOL = 5
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2250 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).