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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €3 0004,8% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €500 alla fine di ogni mese per 27 anni. Il conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €5003% / 12N = 324
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi. Genera €16 500 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €10 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF = €16 500S = €10 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €35 500, €36 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 35 500CF2 = 36 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 3 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 014 quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 3P = €1 014YTM = 4%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 19 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) viene venduta a €1 343. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 060. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%P = €1 343prezzo di richiamo = €1 060richiamo tra 3 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni quotate €44,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €106 800 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,40 per azione, e i dividendi crescono del 3% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €53 400 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un’azienda vende 6 250 unità a €45 l’una. Il costo variabile è €30 per unità e i costi fissi sono €37 500. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 6 250p = €45v = €30F = €37 500
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €28 l'unità, con un costo variabile di €20 per unità e costi fissi di €16 000 all'anno. Le vendite a budget sono 2 400 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €16 000p = €28v = €20budget = 2 400
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4190 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
16 500·2,487 = 41 033,06
Valore attuale del valore residuo
10 000/1,331 = 7 513,15
NPV
NPV = −50 000 + 41 033,06 + 7 513,15 = −€1 453,79
Risposta
NPV = −€1 453,79
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 27,48 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 1 440,00
NPV(30%) = −1 390,53
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,04)−3 = €889,00
Cedola
C = (1014 − 889,00)/2,775 = €45,04
Tasso cedolare
c = 45,04/1000 = 4,504%
Risposta
c = 4,504%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 50 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1343 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 50%: €398,52
y = 50%: €398,52
YTC = 50%
Risposta
YTC = 50%
Il rendimento a scadenza è del 3,498%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,17 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 7,17%
Risposta
WACC = 7,17%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,446 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 6 250·(45 − 30) = €93 750
Utile operativo
Π = 93 750 − 37 500 = €56 250
DOL
DOL = 93 750/56 250 = 1,667
Risposta
DOL = 1,667
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 16,67 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).