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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €12 000 a un tasso nominale del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 4 anni.
PV = €12 0006% / 12n = 4
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 15 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €150 0007,2% / 12N = 180
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €15 000, €9 000, €21 000, €16 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e rende €7 500, €9 500, €9 000, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 8%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 5%n = 4YTM = 5,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,6 ha un rendimento richiesto del 9,5%. Il tasso privo di rischio è del 1,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,6re = 9,5%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 9%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 12 anni alla scadenza) quotate €1 048 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €22 l'unità con un costo variabile di €12 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €15 000p = €22v = €12utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €12 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €6 400 all'anno. Le vendite a budget sono 960 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €6 400p = €12v = €4budget = 960
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 15246 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 15 000/1,06 = 14 150,94
CF2/(1 + 0,06)2 = 9 000/1,124 = 8 009,97
CF3/(1 + 0,06)3 = 21 000/1,191 = 17 632,00
CF4/(1 + 0,06)4 = 16 000/1,262 = 12 673,50
Sommali
NPV = €7 466,41
Risposta
NPV = €7 466,41
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 19,2 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
7 500·1,13 = 9 982,50
9 500·1,12 = 11 495,00
9 000·1,11 = 9 900,00
9 000·1,10 = 9 000,00
TV = 40 377,50
MIRR
MIRR = (40 377,50/20 000)1/4 − 1 = 19,2%
Risposta
MIRR = 19,2%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 778,5 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,04, N = 18
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,4936)/0,04 = €284,83
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4936 = €493,63
Prezzo
P = €778,46
Risposta
P = €778,46
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 3,72 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 50/1,055 = 47,39, t·PV = 47,39
t = 2: 50/1,113 = 44,92, t·PV = 89,85
t = 3: 50/1,174 = 42,58, t·PV = 127,74
t = 4: 1050/1,239 = 847,58, t·PV = 3 390,31
Duration
P = 982,47
D = 3 655,29/982,47 = 3,72
Risposta
D = 3,72 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 6,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (9,5% − 1,5%)/1,6 = 5%
Rendimento di mercato
rm = 1,5% + 5% = 6,5%
Risposta
rm = 6,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,109 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).