Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 4 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0003,6% / 12n = 4
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €150 0003% / 12N = 300
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €16 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €16 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e restituisce €18 500, €10 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 10 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 4%n = 4
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 10 anni e quota €1 075. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 10P = €1 075
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,8. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il premio per il rischio di mercato è del 7%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,8D/E = 1T = 21%rf = 2,5%rm − rf = 7%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €30 l'unità con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €15 000p = €30v = €15utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 2 500 unità al mese a €30 l’una, con un costo variabile di €25 per unità e costi fissi di €5 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €1 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 2 500p = €30v = €25 → €26F = €5 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 12991 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,155 = €12 991,12
Risposta
PV = €12 991,12
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 63395 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0025, N = 300
A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−300) = €711,32
Interessi totali
I = N·A − P = 300·711,3 − 150 000 = €63 395,09
Risposta
I = €63 395,09
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −21429 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 16 000/(0,09 − 0,02) = 228 571,43
NPV
NPV = 228 571,43 − 250 000 = −€21 428,57
Risposta
NPV = −€21 428,57
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 11,63 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 495,87
NPV(15%) = −973,53
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 10 + 5·495,87/(495,87 − (−973,53)) = 11,69%
esatto: NPV(11,63%) = 0 → IRR = 11,63%
Risposta
IRR = 11,63%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1073 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,02, N = 8
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,8535)/0,02 = €219,76
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8535 = €853,49
Prezzo
P = €1 073,25
Risposta
P = €1 073,25
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,027 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·13% + 0,25·4%·(1 − 0,28) = 10,47%
Risposta
WACC = 10,47%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 12,52 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,8·(1 + 0,79·1) = 1,432
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,432·7% = 12,52%
Risposta
re = 12,52%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1400 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).