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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €40 000 tra 3 anni. Un conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €40 0003% / 12n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €500 alla fine di ogni mese per 16 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €5004,2% / 12N = 192
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €14 000, €14 000, €20 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €4 000, €6 000, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 6 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 7%n = 11
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Viene venduta a €1 052. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 3% (2×)n = 12P = €1 052
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,6. Il suo costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 0,6re = 11%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 12%. Il suo debito è costituito da 8 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 5%, 8 anni alla scadenza) quotate €1 103 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €18 con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €6 000 al netto delle imposte?
p = €18v = €15F = €15 000T = 20%utile al netto delle imposte = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 5 000 unità al mese a €18 l’una, con un costo variabile di €8 per unità e costi fissi di €40 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €2 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 5 000p = €18v = €8 → €10F = €40 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 36561 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,094 = €36 561,35
Risposta
PV = €36 561,35
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 136551 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 14 000/1,08 = 12 962,96
CF2/(1 + 0,08)2 = 14 000/1,166 = 12 002,74
CF3/(1 + 0,08)3 = 20 000/1,26 = 15 876,64
Sommali
NPV = €−4 157,65
Risposta
NPV = €−4 157,65
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 28,79 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 624,00
NPV(30%) = −186,62
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 25 + 5·624,00/(624,00 − (−186,62)) = 28,85%
esatto: NPV(28,79%) = 0 → IRR = 28,79%
Risposta
IRR = 28,79%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1076 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,035, N = 22
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €606,68
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4692 = €469,15
Prezzo
P = €1 075,84
Risposta
P = €1 075,84
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,496 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, N = 24
Risolvi numericamente
i = 1,248% per semestre
YTM
YTM = 2·1,248% = 2,496%
Risposta
YTM = 2,496%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,266 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·11% + 0,375·5%·(1 − 0,258) = 8,266%
Risposta
WACC = 8,266%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,489 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
6 000/(1 − 0,2) = €7 500
Unità necessarie
Q = (15 000 + 7 500)/3 = 7 500
Risposta
Q = 7 500 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 6250 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).