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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €50 000 tra 2 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0005% / 12n = 2
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €20 0002,4% / 12N = 72
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €12 000, €9 000, €7 000, €12 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €19 500, €23 000, €23 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 19 500CF2 = 23 000CF3 = 23 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 2,5%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 8%n = 3YTM = 3,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,2 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio del 2% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto si vende a €6 con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €8 000 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 500 al netto delle imposte?
p = €6v = €4F = €8 000T = 25%utile al netto delle imposte = €1 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €22 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €3 200 all'anno. Le vendite a budget sono 1 280 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €3 200p = €22v = €18budget = 1 280
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 45251 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·2 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,105 = €45 251,27
Risposta
PV = €45 251,27
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 1495 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,002, N = 72
A = 20 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−72) = €298,53
Interessi totali
I = N·A − P = 72·298,5 − 20 000 = €1 494,51
Risposta
I = €1 494,51
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1296 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 12 000/1,15 = 10 434,78
CF2/(1 + 0,15)2 = 9 000/1,322 = 6 805,29
CF3/(1 + 0,15)3 = 7 000/1,521 = 4 602,61
CF4/(1 + 0,15)4 = 12 000/1,749 = 6 861,04
Sommali
NPV = €−1 296,27
Risposta
NPV = €−1 296,27
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,77 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 4 391,44
NPV(15%) = −200,54
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,0125, N = 18
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €160,30
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7996 = €799,63
Prezzo
P = €959,93
Risposta
P = €959,93
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 2,796 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 80/1,035 = 77,29, t·PV = 77,29
t = 2: 80/1,071 = 74,68, t·PV = 149,36
t = 3: 1080/1,109 = 974,10, t·PV = 2 922,29
Duration
P = 1 126,07
D = 3 148,95/1 126,07 = 2,796
Risposta
D = 2,796 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,492 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
WACC
WACC = 0,6154·12% + 0,3846·4%·(1 − 0,28) = 8,492%
Risposta
WACC = 8,492%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 8,124 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,2/(1 + 0,8·0,2) = 1,034
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 1,034·(1 + 0,8·0,6) = 1,531
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,531·4% = 8,124%
Risposta
re = 8,124%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 500/(1 − 0,25) = €2 000
Unità necessarie
Q = (8 000 + 2 000)/2 = 5 000
Risposta
Q = 5 000 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 37,5 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).