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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 9 anni. Un conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0004,8% / 4n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 25 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €504,2% / 12N = 300
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €100 000 oggi. Genera €8 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €25 000 rende €10 000 alla fine di ogni anno per 4 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €25 000CF = €10 000n = 4
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 6%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €990 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 8,8 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 50 punti base.
P0 = €990y = 3%D = 8,8Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €31,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 7%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €20 l'unità con un costo variabile di €18 per unità. I costi fissi sono €4 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €4 000p = €20v = €18utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €60 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €75 000 all'anno. Le vendite a budget sono 7 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €75 000p = €60v = €45budget = 7 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 3254 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·9 = 36
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,536 = €3 254,40
Risposta
PV = €3 254,40
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 26463 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 8 000/(0,09 − 0,03) = 133 333,33
NPV
NPV = 133 333,33 − 100 000 = €33 333,33
Risposta
NPV = €33 333,33
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 21,86 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−4)/i = 25 000/10 000 = 2,5
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 21%: 2,54
i = 22%: 2,494
IRR = 21,86%
Risposta
IRR = 21,86%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 950,2 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,03, N = 12
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,7014)/0,03 = €248,85
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7014 = €701,38
Prezzo
P = €950,23
Risposta
P = €950,23
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 947,7 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 8,8/1,03 = 8,544
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −8,544·(0,005) = −4,272%
P ≈ 990·(1 − 0,04272) = €947,71
Risposta
P = €947,71
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,714 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143
WACC
WACC = 0,2857·14% + 0,7143·3%·(1 − 0,2) = 5,714%
Risposta
WACC = 5,714%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,138 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).