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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 2% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 17 anni.
PV = €10 000r = 2%t = 17
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €5 000 al 6% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €125 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €5 000A = €1256% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €30 000 oggi, dura 6 anni e costa €4 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €4 000n = 6r = 8%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €24 500, €31 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 24 500CF2 = 31 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 2,5%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 20 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 136. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 136prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 5 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 1,4 ha un rendimento richiesto del 11,4%. Il tasso privo di rischio è del 3%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 1,4re = 11,4%rf = 3%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,6. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,6. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio è del 1% e il premio per il rischio di mercato è del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,6D/E = 0,6T = 25,8%rf = 1%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €7 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €15 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €15 000p = €7v = €4utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €24 l'unità, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €80 000 all'anno. Le vendite a budget sono 5 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €80 000p = €24v = €4budget = 5 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 14049 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,02·17 = 0,34
e0,34 = 1,405
Valore futuro
FV = 10 000·1,405 = €14 049,48
Risposta
FV = €14 049,48
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 45 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,005/125 = 0,8
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8)/ln(1,005) = 44,74
Arrotonda a rate intere
44 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 45
Risposta
N = 45 rate
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 10489 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−6)/0,08 = 4,623
Prezzo d’acquisto annualizzato
30 000/4,623 = 6 489,46
EAC
EAC = 6 489,46 + 4 000 = €10 489,46
Risposta
EAC = €10 489,46
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,964 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 451,25
NPV(10%) = −2 107,44
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,0125, N = 18
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €160,30
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7996 = €799,63
Prezzo
P = €959,93
Risposta
P = €959,93
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 2,975 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1136 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 186,69
y = 3%: €1 134,72
YTC = 2,975%
Risposta
YTC = 2,975%
Il rendimento a scadenza è del 3,999%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 9 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (11,4% − 3%)/1,4 = 6%
Rendimento di mercato
rm = 3% + 6% = 9%
Risposta
rm = 9%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 5,769 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,6·(1 + 0,742·0,6) = 0,8671
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1% + 0,8671·5,5% = 5,769%
Risposta
re = 5,769%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 7000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).