Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €6 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 3,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €6 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0006% / 12N = 72
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi. Genera €13 000 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €15 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €60 000CF = €13 000S = €15 000n = 5r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €150 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €22 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €150 000CF1 = €22 500g = 5%n = 8r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €955 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 9,6 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 100 punti base.
P0 = €955y = 4%D = 9,6Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €22,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €13 500 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,80 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €22 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto si vende a €42 l'unità con un costo variabile di €30 per unità. I costi fissi sono €6 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €6 000p = €42v = €30utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 3 000 unità al mese a €42 l’una, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €24 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €4 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 3 000p = €42v = €30 → €34F = €24 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 300000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,6983
A = 15 000·0,005/(1 − 0,6983) = €248,59
Risposta
A = €248,59
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −4627 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
13 000·3,605 = 46 862,09
Valore attuale del valore residuo
15 000/1,762 = 8 511,40
NPV
NPV = −60 000 + 46 862,09 + 8 511,40 = −€4 626,51
Risposta
NPV = −€4 626,51
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −10160 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 917,4 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,025, N = 6
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €55,08
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8623 = €862,30
Prezzo
P = €917,38
Risposta
P = €917,38
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 866,8 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 9,6/1,04 = 9,231
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −9,231·(0,01) = −9,231%
P ≈ 955·(1 − 0,09231) = €866,85
Risposta
P = €866,85
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,975 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·5%·(1 − 0,21) = 8,975%
Risposta
WACC = 8,975%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,75 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,8·1,02 = €1,84
re = 1,836/22,5 + 0,02 = 10,16%
Valori di mercato
E = 1 000 000·€22,50 = €22 500 000
V = €45 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10,16% + 0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 6,75%
Risposta
WACC = 6,75%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).