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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 3%r = 7%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni al 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €15 0003% / 12N = 72
I = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €30 000 oggi, dura 4 anni e costa €4 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 10%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €4 000n = 4r = 10%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e rende €3 500, €5 500, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 3 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 3y0 = 3%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 080 con un rendimento a scadenza del 6% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 10,2 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 25 punti base.
P0 = €1 080y = 6%D = 10,2Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 14%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €6 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 4 anni alla scadenza) quotate €965 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €10 con un costo variabile di €6 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €3 000 al netto delle imposte?
p = €10v = €6F = €10 000T = 25%utile al netto delle imposte = €3 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 5 000 unità al mese a €16 l’una, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €20 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €5 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 5 000p = €16v = €6 → €11F = €20 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 200000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0025, N = 72
A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−72) = €227,91
Interessi totali
I = N·A − P = 72·227,9 − 15 000 = €1 409,17
Risposta
I = €1 409,17
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 13464 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,1−4)/0,1 = 3,17
Prezzo d’acquisto annualizzato
30 000/3,17 = 9 464,12
EAC
EAC = 9 464,12 + 4 000 = €13 464,12
Risposta
EAC = €13 464,12
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 14,53 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
3 500·1,082 = 4 082,40
5 500·1,081 = 5 940,00
5 000·1,080 = 5 000,00
TV = 15 022,40
MIRR
MIRR = (15 022,40/10 000)1/3 − 1 = 14,53%
Risposta
MIRR = 14,53%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 3,951 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 10,2/1,06 = 9,623
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −9,623·(−0,0025) = 2,406%
P ≈ 1080·(1 + 0,02406) = €1 105,98
Risposta
P = €1 105,98
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,26 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·3,5%·(1 − 0,28) = 8,26%
Risposta
WACC = 8,26%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,44 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
3 000/(1 − 0,25) = €4 000
Unità necessarie
Q = (10 000 + 4 000)/4 = 3 500
Risposta
Q = 3 500 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 10000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).