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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 16%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 16%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 7 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €20 0007,2% / 12N = 84
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €5 000, €6 000, €10 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 500, €13 500, €12 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 13 500CF3 = 12 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 6 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 6y0 = 5,5%y1 = 7%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 10 anni. Viene venduta a €734. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 2% (2×)n = 10P = €734
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 10,66%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni quotate €50,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €50 500 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,40 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €101 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €30 000 all’anno e un costo variabile di €10 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €37 500 all’anno e un costo variabile di €5 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €30 000vA = €10FB = €37 500vB = €5
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €28 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €8 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €8 000p = €28v = €18budget = 1 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 16,64 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,16/2 = 0,08
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,08)2 − 1 = 1,166 − 1 = 16,64%
Risposta
EAR = 16,64%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 5520 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,006, N = 84
A = 20 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−84) = €303,81
Interessi totali
I = N·A − P = 84·303,8 − 20 000 = €5 520,27
Risposta
I = €5 520,27
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2641 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 5 000/1,09 = 4 587,16
CF2/(1 + 0,09)2 = 6 000/1,188 = 5 050,08
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
Sommali
NPV = €−2 640,93
Risposta
NPV = €−2 640,93
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 33,43 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 1 142,47
NPV(35%) = −493,07
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, N = 20
Risolvi numericamente
i = 2,746% per semestre
YTM
YTM = 2·2,746% = 5,493%
Risposta
YTM = 5,493%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 12 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Parte del debito nel WACC
0,1667·5%·(1 − 0,21) = 0,6583%
Costo del capitale proprio
re = (10,66% − 0,6583%)/0,8333 = 12%
Risposta
re = 12%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,575 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,4·1,05 = €1,47
re = 1,47/50,5 + 0,05 = 7,911%
Valori di mercato
E = 2 000 000·€50,50 = €101 000 000
V = €202 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,911% + 0,5·4,5%·(1 − 0,28) = 5,575%
Risposta
WACC = 5,575%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
30 000 + 10Q = 37 500 + 5Q
Ricava Q
Q = (37 500 − 30 000)/(10 − 5) = 1 500
Risposta
Q = 1 500 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 20 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).