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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €40 000 tra 9 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €40 0003,6% / 12n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 23 anni. Il conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €504,8% / 12N = 276
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €30 000 oggi e rende €8 500 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Il progetto A costa €40 000 e rende €23 000, €15 500, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €50 000 e rende €14 000, €20 500, €27 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 5,5%n = 8
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 8%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 6%n = 5YTM = 8%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €41,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €35 l'unità con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €40 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €40 000p = €35v = €25utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 2 500 unità a €23 l’una, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €5 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 20%?
Q = 2 500p = €23v = €18F = €5 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 28944 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·9 = 108
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,382 = €28 944,05
Risposta
PV = €28 944,05
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 25120 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 8 500/1,06 = 8 018,87 → Σ = 8 018,87
anno 2: 8 500/1,124 = 7 564,97 → Σ = 15 583,84
anno 3: 8 500/1,191 = 7 136,76 → Σ = 22 720,60
anno 4: 8 500/1,262 = 6 732,80 → Σ = 29 453,40
anno 5: 8 500/1,338 = 6 351,69 → Σ = 35 805,09
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 546,60/6 351,69 = 4,086
Risposta
DPB = 4,086 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,529 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 8,614 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 14 000 − 23 000 = −9 000
ΔCF2 = 20 500 − 15 500 = 5 000
ΔCF3 = 27 000 − 9 000 = 18 000
TIR della differenza
NPVΔ(8%) = 242,34
NPVΔ(9%) = −149,18
r* = 8,614%
Risposta
r* = 8,614%
Verifica: al 8,614% entrambi i VAN valgono €1 338,59.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1096 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,0275, N = 16
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,6479)/0,0275 = €448,16
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6479 = €647,87
Prezzo
P = €1 096,03
Risposta
P = €1 096,03
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 4,439 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 60/1,08 = 55,56, t·PV = 55,56
t = 2: 60/1,166 = 51,44, t·PV = 102,88
t = 3: 60/1,26 = 47,63, t·PV = 142,89
t = 4: 60/1,36 = 44,10, t·PV = 176,41
t = 5: 1060/1,469 = 721,42, t·PV = 3 607,09
Duration
P = 920,15
D = 4 084,82/920,15 = 4,439
Risposta
D = 4,439 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,84 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·11% + 0,1429·4%·(1 − 0,28) = 9,84%
Risposta
WACC = 9,84%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,793 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.