Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €500 alla fine di ogni anno per 15 anni. Il tasso di interesse è il 6% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €500i = 6%n = 15
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0006% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €30 000 oggi e rende €11 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €20 500, €21 000, €27 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 20 500CF2 = 21 000CF3 = 27 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 8 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €943 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 8P = €943YTM = 8%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Viene venduta a €955. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 3% (2×)n = 5P = €955
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,9 ha un rendimento richiesto del 9,8%. Il tasso privo di rischio è del 3,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,9re = 9,8%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifficile
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,8. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1,5. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 7%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,8D/E = 1,5T = 30%rf = 3%rm − rf = 7%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €49 con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €3 200 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €1 500 al netto delle imposte?
p = €49v = €45F = €3 200T = 25%utile al netto delle imposte = €1 500
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 6 000 unità a €14 l’una, con un costo variabile di €6 per unità e costi fissi di €32 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 12%?
Q = 6 000p = €14v = €6F = €32 000%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4856 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4173)/0,06 = 9,712
Valore attuale
PV = 500·9,712 = €4 856,12
Risposta
PV = €4 856,12
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 1499 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,166
A = 250 000·0,005/(1 − 0,166) = €1 498,88
Risposta
A = €1 498,88
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,352 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 11 000/1,1 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00
anno 2: 11 000/1,21 = 9 090,91 → Σ = 19 090,91
anno 3: 11 000/1,331 = 8 264,46 → Σ = 27 355,37
anno 4: 11 000/1,464 = 7 513,15 → Σ = 34 868,52
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 2 644,63/7 513,15 = 3,352
Risposta
DPB = 3,352 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,727 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 31,2 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 712,34
NPV(35%) = −2 115,02
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,08)−8 = €540,27
Cedola
C = (943 − 540,27)/5,747 = €70,08
Tasso cedolare
c = 70,08/1000 = 7,008%
Risposta
c = 7,008%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,002 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, N = 10
Risolvi numericamente
i = 2,001% per semestre
YTM
YTM = 2·2,001% = 4,002%
Risposta
YTM = 4,002%
7.CAPM e WACC
Risposta: rm = 10,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (9,8% − 3,5%)/0,9 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 3,5% + 7% = 10,5%
Risposta
rm = 10,5%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 14,48 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,8·(1 + 0,7·1,5) = 1,64
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 1,64·7% = 14,48%
Risposta
re = 14,48%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 1300 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
1 500/(1 − 0,25) = €2 000
Unità necessarie
Q = (3 200 + 2 000)/4 = 1 300
Risposta
Q = 1 300 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 36 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.