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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 9 anni.
PV = €3 0004,8% / 4n = 9
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €15 500 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 5%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un investimento di €10 000 rende €1 500 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €10 000CF = €1 500n = 9
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 14 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 273 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 14P = €1 273YTM = 3,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 3 anni e quota €1 060. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 3P = €1 060
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
E = €5 000 000D = €4 000 000re = 8%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €39,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €9 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €12 500 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €12 500p = €9v = €4utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €21 con un costo variabile di €15; il prodotto B si vende a €35 con un costo variabile di €15. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 3 di B. I costi fissi sono €72 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €21, vA = €15pB = €35, vB = €15A : B = 2 : 3F = €72 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 4609 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 12 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €228,66
Risposta
A = €228,66
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 4,415 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 15 500/1,05 = 14 761,90 → Σ = 14 761,90
anno 2: 15 500/1,103 = 14 058,96 → Σ = 28 820,86
anno 3: 15 500/1,158 = 13 389,48 → Σ = 42 210,34
anno 4: 15 500/1,216 = 12 751,89 → Σ = 54 962,23
anno 5: 15 500/1,276 = 12 144,66 → Σ = 67 106,89
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 5 037,77/12 144,66 = 4,415
Risposta
DPB = 4,415 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,871 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,463 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 10 000/1 500 = 6,667
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 6%: 6,802
i = 7%: 6,515
IRR = 6,463%
Risposta
IRR = 6,463%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 6 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,035)−14 = €617,78
Cedola
C = (1273 − 617,78)/10,92 = €60,00
Tasso cedolare
c = 60/1000 = 6%
Risposta
c = 6%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 0,9614 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(1%) = €1 058,82, P(1%) = €1 058,82
YTM = 0,9614%
Risposta
YTM = 0,9614%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
WACC
WACC = 0,5556·8% + 0,4444·5%·(1 − 0,3) = 6%
Risposta
WACC = 6%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,137 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 2 500 000·€39,50 = €98 750 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 0,6·5% = 6,5%
Pesi
V = €108 350 000, E/V = 0,9114, D/V = 0,0886
WACC
WACC = 0,9114·6,5% + 0,0886·3%·(1 − 0,2) = 6,137%
Risposta
WACC = 6,137%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 4900 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.