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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 9 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0005% / 12n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 24? Trova il debito residuo B.
P = €150 0003,6% / 12N = 360k = 288
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €25 500, €12 000, €22 000, €21 500 alla fine degli anni da 1 a 4. Il costo del capitale è il 8%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e rende €10 500, €15 000, €15 000, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 3,5%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 7 anni e quota €885. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 7P = €885
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €32,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 6,5%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un’azienda vende 3 000 unità a €30 l’una. Il costo variabile è €18 per unità e i costi fissi sono €24 000. Trova il grado di leva operativa DOL a questo livello di vendite.
Q = 3 000p = €30v = €18F = €24 000
DOL =
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 5 000 unità al mese a €45 l’una, con un costo variabile di €25 per unità e costi fissi di €40 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €4 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 5 000p = €45v = €25 → €29F = €40 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 3191 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·9 = 108
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,567 = €3 191,12
Risposta
PV = €3 191,12
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 44102 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 360
A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−360) = €681,97
Valore attuale delle rate rimanenti
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 288 = 72
B = 682·(1 − (1 + 0,003)−72)/0,003 = €44 101,54
Risposta
B = €44 101,54
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,547 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 25 500/1,08 = 23 611,11 → Σ = 23 611,11
anno 2: 12 000/1,166 = 10 288,07 → Σ = 33 899,18
anno 3: 22 000/1,26 = 17 464,31 → Σ = 51 363,49
anno 4: 21 500/1,36 = 15 803,14 → Σ = 67 166,63
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 8 636,51/15 803,14 = 3,547
Risposta
DPB = 3,547 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,023 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 22,3 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
10 500·1,083 = 13 226,98
15 000·1,082 = 17 496,00
15 000·1,081 = 16 200,00
9 000·1,080 = 9 000,00
TV = 55 922,98
MIRR
MIRR = (55 922,98/25 000)1/4 − 1 = 22,3%
Risposta
MIRR = 22,3%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 977,2 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,0175, N = 10
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €136,52
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8407 = €840,73
Prezzo
P = €977,25
Risposta
P = €977,25
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,986 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€885 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(4%) = €939,98, P(5%) = €884,27
YTM = 4,986%
Risposta
YTM = 4,986%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,638 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.
Margine di contribuzione totale
CM = 3 000·(30 − 18) = €36 000
Utile operativo
Π = 36 000 − 24 000 = €12 000
DOL
DOL = 36 000/12 000 = 3
Risposta
DOL = 3
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 6250 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).