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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €5 000 tra 3 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €5 0003,6% / 4n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 23? Trova il debito residuo B.
P = €250 0004,8% / 12N = 360k = 276
B = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €37 500 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €15 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €37 500S = €15 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €20 000 rende €5 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €5 000n = 5
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 4 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 056 quando il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 4P = €1 056YTM = 2,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 7% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 7%n = 6YTM = 3,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 6,22%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio del 3,5% e il premio per il rischio di mercato del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto si vende a €17 con un costo variabile di €15 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €5 000 al netto delle imposte?
p = €17v = €15F = €10 000T = 20%utile al netto delle imposte = €5 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 5 000 unità al mese a €33 l’una, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €6 000 al mese. Il costo variabile aumenta di €1 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 5 000p = €33v = €30 → €31F = €6 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 4490 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·3 = 12
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,114 = €4 490,31
Risposta
PV = €4 490,31
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 93422 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 276 = 84
B = 1312·(1 − (1 + 0,004)−84)/0,004 = €93 422,50
Risposta
B = €93 422,50
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 4527 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 20 000/5 000 = 4
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 7%: 4,1
i = 8%: 3,993
IRR = 7,931%
Risposta
IRR = 7,931%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3,989 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,025)−4 = €905,95
Cedola
C = (1056 − 905,95)/3,762 = €39,89
Tasso cedolare
c = 39,89/1000 = 3,989%
Risposta
c = 3,989%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 5,183 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 70/1,035 = 67,63, t·PV = 67,63
t = 2: 70/1,071 = 65,35, t·PV = 130,69
t = 3: 70/1,109 = 63,14, t·PV = 189,41
t = 4: 70/1,148 = 61,00, t·PV = 244,00
t = 5: 70/1,188 = 58,94, t·PV = 294,69
t = 6: 1070/1,229 = 870,45, t·PV = 5 222,67
Duration
P = 1 186,50
D = 6 149,10/1 186,50 = 5,183
Risposta
D = 5,183 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 7,995 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
Parte del debito nel WACC
0,5556·6%·(1 − 0,2) = 2,667%
Costo del capitale proprio
re = (6,22% − 2,667%)/0,4444 = 7,995%
Risposta
re = 7,995%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 10,66 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,1/(1 + 0,7·0,25) = 0,9362
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,9362·(1 + 0,7·1) = 1,591
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 1,591·4,5% = 10,66%
Risposta
re = 10,66%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 8125 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
5 000/(1 − 0,2) = €6 250
Unità necessarie
Q = (10 000 + 6 250)/2 = 8 125
Risposta
Q = 8 125 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 7500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).