Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 7% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 19 anni.
PV = €10 000r = 7%t = 19
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €150 0006% / 12N = 300
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €80 000 oggi, dura 4 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €80 000M = €5 000n = 4r = 5%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €200 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €25 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 2% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 7. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €25 500g = 2%n = 7r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 4%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 4%n = 6YTM = 3,5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,7. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il premio per il rischio di mercato è del 4%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,7D/E = 0,4T = 25%rf = 2,5%rm − rf = 4%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €55 l'unità con un costo variabile di €45 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €20 000p = €55v = €45utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €30 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €24 000 all'anno. Le vendite a budget sono 3 000 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €24 000p = €30v = €18budget = 3 000
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 37810 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,07·19 = 1,33
e1,33 = 3,781
Valore futuro
FV = 10 000·3,781 = €37 810,43
Risposta
FV = €37 810,43
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 966,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·25 = 300
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,224
A = 150 000·0,005/(1 − 0,224) = €966,45
Risposta
A = €966,45
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 27561 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,05−4)/0,05 = 3,546
Prezzo d’acquisto annualizzato
80 000/3,546 = 22 560,95
EAC
EAC = 22 560,95 + 5 000 = €27 560,95
Risposta
EAC = €27 560,95
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −69140 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1225 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,02, N = 18
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,7002)/0,02 = €524,72
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7002 = €700,16
Prezzo
P = €1 224,88
Risposta
P = €1 224,88
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 5,46 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 40/1,035 = 38,65, t·PV = 38,65
t = 2: 40/1,071 = 37,34, t·PV = 74,68
t = 3: 40/1,109 = 36,08, t·PV = 108,23
t = 4: 40/1,148 = 34,86, t·PV = 139,43
t = 5: 40/1,188 = 33,68, t·PV = 168,39
t = 6: 1040/1,229 = 846,04, t·PV = 5 076,24
Duration
P = 1 026,64
D = 5 605,63/1 026,64 = 5,46
Risposta
D = 5,46 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,94 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·4%·(1 − 0,28) = 6,94%
Risposta
WACC = 6,94%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 6,14 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,7·(1 + 0,75·0,4) = 0,91
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2,5% + 0,91·4% = 6,14%
Risposta
re = 6,14%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2200 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).