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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €25 000 tra 9 anni. Un conto rende il 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €25 0003% / 12n = 9
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €75 000 tra 16 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €75 0002,4% / 12N = 192
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €7 000, €6 000, €9 000, €14 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €13 500, €11 500, €14 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 11 500CF3 = 14 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 3,5%n = 6
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 7 anni e quota €1 060. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 7P = €1 060
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €25,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 7,5%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €11 l'unità con un costo variabile di €6 per unità. I costi fissi sono €25 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €20 000?
F = €25 000p = €11v = €6utile = €20 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €12 con un costo variabile di €8; il prodotto B si vende a €38 con un costo variabile di €30. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 1 di B. I costi fissi sono €9 600 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €12, vA = €8pB = €38, vB = €30A : B = 2 : 1F = €9 600
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 19091 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·9 = 108
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,31 = €19 090,92
Risposta
PV = €19 090,92
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 320,8 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 7 000/1,15 = 6 086,96
CF2/(1 + 0,15)2 = 6 000/1,322 = 4 536,86
CF3/(1 + 0,15)3 = 9 000/1,521 = 5 917,65
CF4/(1 + 0,15)4 = 14 000/1,749 = 8 004,55
Sommali
NPV = €−5 453,99
Risposta
NPV = €−5 453,99
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 25,88 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(25%) = 328,00
NPV(30%) = −1 438,32
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,0175, N = 12
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €322,19
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8121 = €812,06
Prezzo
P = €1 134,24
Risposta
P = €1 134,24
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 060 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 060,02, P(5%) = €1 000,00
YTM = 4%
Risposta
YTM = 4%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,82 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·13% + 0,1429·6%·(1 − 0,21) = 11,82%
Risposta
WACC = 11,82%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,053 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.