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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 22%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 22%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 10? Trova il debito residuo B.
P = €200 0003,6% / 12N = 300k = 120
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €20 000, €23 000, €16 000, €20 000, €23 000, €13 000 alla fine degli anni da 1 a 6. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Il progetto A costa €40 000 e rende €23 000, €15 500, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €50 000 e rende €12 500, €20 000, €27 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 13 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €911 quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 13P = €911YTM = 6%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 8 anni e quota €875. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 8P = €875
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 9,1%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni quotate €52,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €63 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,60 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €63 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €25 000 all’anno e un costo variabile di €8 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €45 000 all’anno e un costo variabile di €3 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €25 000vA = €8FB = €45 000vB = €3
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 7 500 unità a €40 l’una, con un costo variabile di €25 per unità e costi fissi di €75 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 20%?
Q = 7 500p = €40v = €25F = €75 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 24,6 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,22/365 = 0,0006027
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0006027)365 − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%
Risposta
EAR = 24,6%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 140595 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 120 = 180
B = 1012·(1 − (1 + 0,003)−180)/0,003 = €140 594,70
Risposta
B = €140 594,70
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,456 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 20 000/1,06 = 18 867,92 → Σ = 18 867,92
anno 2: 23 000/1,124 = 20 469,92 → Σ = 39 337,84
anno 3: 16 000/1,191 = 13 433,91 → Σ = 52 771,75
anno 4: 20 000/1,262 = 15 841,87 → Σ = 68 613,62
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 7 228,25/15 841,87 = 3,456
Risposta
DPB = 3,456 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,05 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 4,15 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 20 000 − 15 500 = 4 500
ΔCF3 = 27 000 − 9 000 = 18 000
TIR della differenza
NPVΔ(4%) = 66,28
NPVΔ(5%) = −369,29
r* = 4,15%
Risposta
r* = 4,15%
Verifica: al 4,15% entrambi i VAN valgono €4 339,66.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 4,995 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,06)−13 = €468,84
Cedola
C = (911 − 468,84)/8,853 = €49,95
Tasso cedolare
c = 49,95/1000 = 4,995%
Risposta
c = 4,995%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 6,014 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€875 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(6%) = €875,80, P(7%) = €820,86
YTM = 6,014%
Risposta
YTM = 6,014%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13,01 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Parte del debito nel WACC
0,4·4,5%·(1 − 0,28) = 1,296%
Costo del capitale proprio
re = (9,1% − 1,296%)/0,6 = 13,01%
Risposta
re = 13,01%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,781 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2,6·1,05 = €2,73
re = 2,73/52,5 + 0,05 = 10,2%
Valori di mercato
E = 2 000 000·€52,50 = €105 000 000
V = €168 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10,2% + 0,375·5%·(1 − 0,25) = 7,781%
Risposta
WACC = 7,781%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 4000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
25 000 + 8Q = 45 000 + 3Q
Ricava Q
Q = (45 000 − 25 000)/(8 − 3) = 4 000
Risposta
Q = 4 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = 60 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.