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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 3 anni.
PV = €10 000r = 8%t = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 13 anni. Il conto rende il 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1507,2% / 12N = 156
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €400 000 oggi. Genera €29 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €400 000CF1 = €29 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €10 500, €12 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 10 500CF2 = 12 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 8%n = 9
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €930 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 5,3 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 100 punti base.
P0 = €930y = 4%D = 5,3Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €2 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €6 000 000 e un costo del capitale proprio del 10%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 5%, 10 anni alla scadenza) quotate €926 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €40 l'unità con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €30 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €30 000p = €40v = €25utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €20 con un costo variabile di €15; il prodotto B si vende a €30 con un costo variabile di €20. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 3 di B. I costi fissi sono €40 000 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €20, vA = €15pB = €30, vB = €20A : B = 2 : 3F = €40 000
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 12712 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,08·3 = 0,24
e0,24 = 1,271
Valore futuro
FV = 10 000·1,271 = €12 712,49
Risposta
FV = €12 712,49
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 38566 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 29 000/(0,12 − 0,03) = 322 222,22
NPV
NPV = 322 222,22 − 400 000 = −€77 777,78
Risposta
NPV = −€77 777,78
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,551 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 337,87
NPV(10%) = −123,97
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,04, N = 18
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,4936)/0,04 = €284,83
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4936 = €493,63
Prezzo
P = €778,46
Risposta
P = €778,46
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 977,4 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 5,3/1,04 = 5,096
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −5,096·(−0,01) = 5,096%
P ≈ 930·(1 + 0,05096) = €977,39
Risposta
P = €977,39
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,928 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·4%·(1 − 0,28) = 6,928%
Risposta
WACC = 6,928%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,834 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.