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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €8 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €8 0003,6% / 4n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 26 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1505,4% / 12N = 312
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €12 000, €9 000, €8 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e rende €27 000, €15 000, €29 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 6%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €886 quando il rendimento a scadenza è del 3,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 9P = €886YTM = 3,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Viene venduta a €802. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 4% (2×)n = 9P = €802
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,4 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,75. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio del 1,5% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto si vende a €32 l'unità con un costo variabile di €20 per unità. I costi fissi sono €12 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €12 000p = €32v = €20utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 880 unità a €16 l’una, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €18 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite diminuisce del 10%?
Q = 1 880p = €16v = €4F = €18 000%ΔQ = −10%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 11448 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 6 000/1,08 = 5 555,56
CF2/(1 + 0,08)2 = 12 000/1,166 = 10 288,07
CF3/(1 + 0,08)3 = 9 000/1,26 = 7 144,49
CF4/(1 + 0,08)4 = 8 000/1,36 = 5 880,24
Sommali
NPV = €−1 131,65
Risposta
NPV = €−1 131,65
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 14,59 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
27 000·1,062 = 30 337,20
15 000·1,061 = 15 900,00
29 000·1,060 = 29 000,00
TV = 75 237,20
MIRR
MIRR = (75 237,20/50 000)1/3 − 1 = 14,59%
Risposta
MIRR = 14,59%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 2,002 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,035)−9 = €733,73
Cedola
C = (886 − 733,73)/7,608 = €20,02
Tasso cedolare
c = 20,02/1000 = 2,002%
Risposta
c = 2,002%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,003 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, N = 18
Risolvi numericamente
i = 3,501% per semestre
YTM
YTM = 2·3,501% = 7,003%
Risposta
YTM = 7,003%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,108 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,4/(1 + 0,7·0,5) = 1,037
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 1,037·(1 + 0,7·0,75) = 1,581
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,581·4% = 7,826%
Risposta
re = 7,826%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.