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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 6 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0002% / 4n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €1 000 all’inizio di ogni anno per 18 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 8% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 18? Trova FV.
A = €1 000i = 8%n = 18
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi, dura 5 anni e costa €2 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 6%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €2 000n = 5r = 6%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €10 000 e rende €6 000, €3 500, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €15 000 e rende €4 000, €6 500, €8 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 7%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 3 anni e quota €960. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €38,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €14 l'unità con un costo variabile di €6 per unità. I costi fissi sono €16 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €16 000p = €14v = €6utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €55 l'unità, con un costo variabile di €45 per unità e costi fissi di €10 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 400 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €10 000p = €55v = €45budget = 1 400
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 8872 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·6 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,127 = €8 871,86
Risposta
PV = €8 871,86
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 40446 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,08)18 − 1)/0,08 = 37,45
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 1 000·37,45·1,08 = €40 446,26
Risposta
FV = €40 446,26
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 11496 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,06−5)/0,06 = 4,212
Prezzo d’acquisto annualizzato
40 000/4,212 = 9 495,86
EAC
EAC = 9 495,86 + 2 000 = €11 495,86
Risposta
EAC = €11 495,86
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 8,574 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 6 000 = −2 000
ΔCF2 = 6 500 − 3 500 = 3 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
TIR della differenza
NPVΔ(8%) = 86,24
NPVΔ(9%) = −62,81
r* = 8,574%
Risposta
r* = 8,574%
Verifica: al 8,574% entrambi i VAN valgono €448,47.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 759,1 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,035, N = 24
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,438)/0,035 = €321,17
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,438 = €437,96
Prezzo
P = €759,12
Risposta
P = €759,12
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,482 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€960 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(5%) = €972,77, P(6%) = €946,54
YTM = 5,482%
Risposta
YTM = 5,482%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,7 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·11% + 0,1667·4%·(1 − 0,2) = 9,7%
Risposta
WACC = 9,7%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,455 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 1 000 000·€38,00 = €38 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,1·5% = 7%
Pesi
V = €42 900 000, E/V = 0,8858, D/V = 0,1142
WACC
WACC = 0,8858·7% + 0,1142·3%·(1 − 0,258) = 6,455%
Risposta
WACC = 6,455%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2750 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).