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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 9 anni.
PV = €5 0004,8% / 4n = 9
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 7 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €25 0003,6% / 12N = 84
I = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €18 500 alla fine di ogni anno per 8 anni e poi può essere venduta a €10 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €18 500S = €10 000n = 8r = 12%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €40 000 e rende €22 500, €16 000, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €50 000 e rende €13 500, €21 000, €28 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 5%n = 4
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 2% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 9%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 2%n = 5YTM = 9%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 9,54%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €14,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €16 l'unità con un costo variabile di €8 per unità. I costi fissi sono €8 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €2 000?
F = €8 000p = €16v = €8utile = €2 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €21 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €15 000 all'anno. Le vendite a budget sono 7 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €15 000p = €21v = €18budget = 7 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 7682 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,003, N = 84
A = 25 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−84) = €337,14
Interessi totali
I = N·A − P = 84·337,1 − 25 000 = €3 319,44
Risposta
I = €3 319,44
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −4060 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 13 500 − 22 500 = −9 000
ΔCF2 = 21 000 − 16 000 = 5 000
ΔCF3 = 28 000 − 9 500 = 18 500
TIR della differenza
NPVΔ(9%) = 236,91
NPVΔ(10%) = −150,26
r* = 9,607%
Risposta
r* = 9,607%
Verifica: al 9,607% entrambi i VAN valgono €1 060,35.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 982,1 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,025, N = 8
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,8207)/0,025 = €161,33
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8207 = €820,75
Prezzo
P = €982,07
Risposta
P = €982,07
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 4,768 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 20/1,09 = 18,35, t·PV = 18,35
t = 2: 20/1,188 = 16,83, t·PV = 33,67
t = 3: 20/1,295 = 15,44, t·PV = 46,33
t = 4: 20/1,412 = 14,17, t·PV = 56,67
t = 5: 1020/1,539 = 662,93, t·PV = 3 314,65
Duration
P = 727,72
D = 3 469,67/727,72 = 4,768
Risposta
D = 4,768 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
Parte del debito nel WACC
0,3846·5%·(1 − 0,2) = 1,538%
Costo del capitale proprio
re = (9,54% − 1,538%)/0,6154 = 13%
Risposta
re = 13%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,913 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).