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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €5 0003% / 12n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €30 0006% / 12N = 60
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €7 000, €8 000, €4 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €10 000 e rende €6 000, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €20 000 e rende €5 500, €7 500, €11 500. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 5%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 17 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 225. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 225prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,25. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 0,25re = 13%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,2. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,6. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 7%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,2D/E = 0,6T = 20%rf = 3%rm − rf = 7%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €14 l'unità con un costo variabile di €8 per unità. I costi fissi sono €24 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €24 000p = €14v = €8utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €26 l'unità, con un costo variabile di €18 per unità e costi fissi di €20 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 500 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €20 000p = €26v = €18budget = 4 500
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6747 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,005, N = 60
A = 30 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−60) = €579,98
Interessi totali
I = N·A − P = 60·580 − 30 000 = €4 799,04
Risposta
I = €4 799,04
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −3205 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 7 000/1,07 = 6 542,06
CF2/(1 + 0,07)2 = 8 000/1,145 = 6 987,51
CF3/(1 + 0,07)3 = 4 000/1,225 = 3 265,19
Sommali
NPV = €−3 205,24
Risposta
NPV = €−3 205,24
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 6,755 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −20 000 − (−10 000) = −10 000
ΔCF1 = 5 500 − 6 000 = −500
ΔCF2 = 7 500 − 4 000 = 3 500
ΔCF3 = 11 500 − 2 500 = 9 000
TIR della differenza
NPVΔ(6%) = 199,86
NPVΔ(7%) = −63,57
r* = 6,755%
Risposta
r* = 6,755%
Verifica: al 6,755% entrambi i VAN valgono €1 184,92.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 912,5 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,025, N = 10
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,7812)/0,025 = €131,28
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7812 = €781,20
Prezzo
P = €912,48
Risposta
P = €912,48
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 3,797 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1225 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 3%: €1 275,31
y = 4%: €1 212,59
YTC = 3,797%
Risposta
YTC = 3,797%
Il rendimento a scadenza è del 5,004%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,1 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·5%·(1 − 0,3) = 11,1%
Risposta
WACC = 11,1%
8.CAPM e WACC
Risposta: re = 15,43 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,2·(1 + 0,8·0,6) = 1,776
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 1,776·7% = 15,43%
Risposta
re = 15,43%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).