Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €10 000 tra 10 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0002% / 4n = 10
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €150 0004,8% / 12N = 300
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €11 000, €13 000, €11 000, €7 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €24 000, €30 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 24 000CF2 = 30 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 14 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 292 quando il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 14P = €1 292YTM = 2,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Viene venduta a €869. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 3% (2×)n = 3P = €869
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €12 000 000 e un costo del capitale proprio del 12%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 5%, 7 anni alla scadenza) quotate €1 029 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto si vende a €16 con un costo variabile di €12 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese e l’utile è tassato al 25%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €6 000 al netto delle imposte?
p = €16v = €12F = €20 000T = 25%utile al netto delle imposte = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €12 l'unità, con un costo variabile di €8 per unità e costi fissi di €4 800 all'anno. Le vendite a budget sono 1 380 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €4 800p = €12v = €8budget = 1 380
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 8191 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·10 = 40
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,221 = €8 191,39
Risposta
PV = €8 191,39
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 107849 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,004, N = 300
A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−300) = €859,50
Interessi totali
I = N·A − P = 300·859,5 − 150 000 = €107 848,63
Risposta
I = €107 848,63
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 630 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 11 000/1,15 = 9 565,22
CF2/(1 + 0,15)2 = 13 000/1,322 = 9 829,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 11 000/1,521 = 7 232,68
CF4/(1 + 0,15)4 = 7 000/1,749 = 4 002,27
Sommali
NPV = €630,04
Risposta
NPV = €630,04
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 5,093 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 68,03
NPV(10%) = −3 388,43
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 5 + 5·68,03/(68,03 − (−3 388,43)) = 5,098%
esatto: NPV(5,093%) = 0 → IRR = 5,093%
Risposta
IRR = 5,093%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 4,998 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,025)−14 = €707,73
Cedola
C = (1292 − 707,73)/11,69 = €49,98
Tasso cedolare
c = 49,98/1000 = 4,998%
Risposta
c = 4,998%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,998 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, N = 6
Risolvi numericamente
i = 3,999% per semestre
YTM
YTM = 2·3,999% = 7,998%
Risposta
YTM = 7,998%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,855 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·5%·(1 − 0,258) = 7,855%
Risposta
WACC = 7,855%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,481 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
6 000/(1 − 0,25) = €8 000
Unità necessarie
Q = (20 000 + 8 000)/4 = 7 000
Risposta
Q = 7 000 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 13,04 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).