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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 4 anni.
PV = €5 0002% / 4n = 4
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0004,8% / 12N = 72
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €50 000 oggi. Genera €8 500 alla fine di ogni anno per 8 anni e poi può essere venduta a €12 500. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF = €8 500S = €12 500n = 8r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €26 000, €28 500, €35 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 26 000CF2 = 28 500CF3 = 35 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 5,5%n = 3
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 10 anni e quota €855. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 10P = €855
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €12 000 000, azioni privilegiate per €500 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €42,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 3,5%rm = 9%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €22 l'unità con un costo variabile di €12 per unità. I costi fissi sono €12 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €12 000?
F = €12 000p = €22v = €12utile = €12 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende due prodotti. Il prodotto A si vende a €12 con un costo variabile di €8; il prodotto B si vende a €30 con un costo variabile di €10. Si vendono in un mix fisso di 2 unità di A ogni 3 di B. I costi fissi sono €40 800 al mese. Trova il numero totale di unità Q (A e B insieme) necessario per il pareggio.
pA = €12, vA = €8pB = €30, vB = €10A : B = 2 : 3F = €40 800
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 5415 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7502
A = 15 000·0,004/(1 − 0,7502) = €240,18
Risposta
A = €240,18
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 5600 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
8 500·5,747 = 48 846,43
Valore attuale del valore residuo
12 500/1,851 = 6 753,36
NPV
NPV = −50 000 + 48 846,43 + 6 753,36 = €5 599,79
Risposta
NPV = €5 599,79
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 34,04 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 3 022,30
NPV(35%) = −674,19
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,0275, N = 6
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €163,87
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8498 = €849,78
Prezzo
P = €1 013,66
Risposta
P = €1 013,66
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,967 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€855 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Risolvi numericamente
P(5%) = €922,78, P(6%) = €852,80
YTM = 5,967%
Risposta
YTM = 5,967%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,185 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Pareggio con un mix di vendita: quando i prodotti si vendono in un rapporto fisso, usa il margine di contribuzione medio ponderato: pondera il p − v di ogni prodotto con la sua quota di unità. Unità di pareggio = F/(margine di contribuzione ponderato), poi ripartite di nuovo secondo il rapporto del mix.