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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €8 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 3 anni.
PV = €8 0004% / 12n = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €12 000 al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €200 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €12 000A = €2003,6% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €40 000 oggi e rende €18 000, €10 000, €12 500, €14 000, €8 500 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 12%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €21 000, €17 500, €23 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 21 000CF2 = 17 500CF3 = 23 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 6 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5,5% al 6,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 6%n = 6y1 = 5,5%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 19 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) viene venduta a €1 121. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 060. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%P = €1 121prezzo di richiamo = €1 060richiamo tra 5 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €5 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 8% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,5. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio del 4% e il premio per il rischio di mercato del 7%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €20 000 all’anno e un costo variabile di €12 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €27 500 all’anno e un costo variabile di €9 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €20 000vA = €12FB = €27 500vB = €9
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €28 l'unità, con un costo variabile di €20 per unità e costi fissi di €12 000 all'anno. Le vendite a budget sono 1 950 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €12 000p = €28v = €20budget = 1 950
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 9018 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,003/200 = 0,82
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,82)/ln(1,003) = 66,25
Arrotonda a rate intere
66 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 67
Risposta
N = 67 rate
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,793 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 18 000/1,12 = 16 071,43 → Σ = 16 071,43
anno 2: 10 000/1,254 = 7 971,94 → Σ = 24 043,37
anno 3: 12 500/1,405 = 8 897,25 → Σ = 32 940,62
anno 4: 14 000/1,574 = 8 897,25 → Σ = 41 837,87
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 7 059,38/8 897,25 = 3,793
Risposta
DPB = 3,793 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,96 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 24,63 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 2 962,96
NPV(25%) = −224,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1121 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 138,35
y = 5%: €1 090,31
YTC = 4,355%
Risposta
YTC = 4,355%
Il rendimento a scadenza è del 4,999%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,58 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1/(1 + 0,8·0,25) = 0,8333
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,8333·(1 + 0,8·1,5) = 1,833
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 1,833·7% = 16,83%
Risposta
re = 16,83%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 2500 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
20 000 + 12Q = 27 500 + 9Q
Ricava Q
Q = (27 500 − 20 000)/(12 − 9) = 2 500
Risposta
Q = 2 500 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 23,08 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).