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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €2 0003,6% / 4n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 19? Trova il debito residuo B.
P = €200 0004,8% / 12N = 300k = 228
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €13 000, €22 000, €16 000, €17 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €10 000 rende €3 500 alla fine di ogni anno per 4 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €10 000CF = €3 500n = 4
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 6%n = 12
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 035 con un rendimento a scadenza del 4% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 5 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 150 punti base.
P0 = €1 035y = 4%D = 5Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €59,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 9,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €6 con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese e l’utile è tassato al 20%. Quante unità Q si devono vendere al mese per guadagnare €3 000 al netto delle imposte?
p = €6v = €4F = €10 000T = 20%utile al netto delle imposte = €3 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €18 l'unità, con un costo variabile di €12 per unità e costi fissi di €24 000 all'anno. Le vendite a budget sono 5 200 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €24 000p = €18v = €12budget = 5 200
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2570 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 300 − 228 = 72
B = 1146·(1 − (1 + 0,004)−72)/0,004 = €71 569,49
Risposta
B = €71 569,49
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 8632 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 13 000/1,1 = 11 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 22 000/1,21 = 18 181,82
CF3/(1 + 0,1)3 = 16 000/1,331 = 12 021,04
CF4/(1 + 0,1)4 = 17 000/1,464 = 11 611,23
Sommali
NPV = €8 632,27
Risposta
NPV = €8 632,27
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 14,96 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−4)/i = 10 000/3 500 = 2,857
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 14%: 2,914
i = 15%: 2,855
IRR = 14,96%
Risposta
IRR = 14,96%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 661,3 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,03, N = 24
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,4919)/0,03 = €169,36
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4919 = €491,93
Prezzo
P = €661,29
Risposta
P = €661,29
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 960,4 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 5/1,04 = 4,808
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −4,808·(0,015) = −7,212%
P ≈ 1035·(1 − 0,07212) = €960,36
Risposta
P = €960,36
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,446 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Utile al lordo delle imposte necessario
3 000/(1 − 0,2) = €3 750
Unità necessarie
Q = (10 000 + 3 750)/2 = 6 875
Risposta
Q = 6 875 unità
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 23,08 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).