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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 16%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 000 all’inizio di ogni anno per 12 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 6% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 12? Trova FV.
A = €2 000i = 6%n = 12
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €20 000 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €25 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €20 000S = €25 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €35 500, €18 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 35 500CF2 = 18 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 6 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 2%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 2%n = 6y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 6%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 4%n = 6YTM = 6%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €10 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,75. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio è del 4% e il premio per il rischio di mercato è del 5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1D/E = 0,75T = 20%rf = 4%rm − rf = 5%
re = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €25 000 all’anno e un costo variabile di €10 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €45 000 all’anno e un costo variabile di €6 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €25 000vA = €10FB = €45 000vB = €6
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un prodotto si vende a €24 l'unità, con un costo variabile di €20 per unità e costi fissi di €16 000 all'anno. Le vendite a budget sono 4 800 unità. Trova il margine di sicurezza MS in percentuale delle vendite a budget.
F = €16 000p = €24v = €20budget = 4 800
MS = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 17,35 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Risposta
EAR = 17,35%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 35764 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,06)12 − 1)/0,06 = 16,87
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 000·16,87·1,06 = €35 764,28
Risposta
FV = €35 764,28
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −8661 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 136,05
NPV(10%) = −2 851,24
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 40/1,06 = 37,74, t·PV = 37,74
t = 2: 40/1,124 = 35,60, t·PV = 71,20
t = 3: 40/1,191 = 33,58, t·PV = 100,75
t = 4: 40/1,262 = 31,68, t·PV = 126,73
t = 5: 40/1,338 = 29,89, t·PV = 149,45
t = 6: 1040/1,419 = 733,16, t·PV = 4 398,95
Duration
P = 901,65
D = 4 884,83/901,65 = 5,418
Risposta
D = 5,418 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,079 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1·(1 + 0,8·0,75) = 1,6
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 1,6·5% = 12%
Risposta
re = 12%
9.Analisi del punto di pareggio
Risposta: Q = 5000 unità
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
25 000 + 10Q = 45 000 + 6Q
Ricava Q
Q = (45 000 − 25 000)/(10 − 6) = 5 000
Risposta
Q = 5 000 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: MS = 16,67 %
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).