Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €25 000 tra 8 anni. Un conto rende il 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €25 0005% / 12n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 19 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €503,6% / 12N = 228
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €35 000, €29 000, €22 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €80 000 rende €12 000 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €80 000CF = €12 000n = 9
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 13 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €863 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 13P = €863YTM = 5,5%
c = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 9 anni e quota €1 150. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 9P = €1 150
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 0,5re = 12%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €38,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 3%rm = 8,5%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €35 l'unità con un costo variabile di €25 per unità. I costi fissi sono €20 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €6 000?
F = €20 000p = €35v = €25utile = €6 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 630 unità a €34 l’una, con un costo variabile di €30 per unità e costi fissi di €2 000. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite aumenta del 20%?
Q = 630p = €34v = €30F = €2 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 16772 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·8 = 96
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,491 = €16 771,93
Risposta
PV = €16 771,93
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 16329 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 35 000/1,09 = 32 110,09
CF2/(1 + 0,09)2 = 29 000/1,188 = 24 408,72
CF3/(1 + 0,09)3 = 22 000/1,295 = 16 988,04
Sommali
NPV = €−1 493,15
Risposta
NPV = €−1 493,15
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,463 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 80 000/12 000 = 6,667
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 6%: 6,802
i = 7%: 6,515
IRR = 6,463%
Risposta
IRR = 6,463%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3,997 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,055)−13 = €498,56
Cedola
C = (863 − 498,56)/9,117 = €39,97
Tasso cedolare
c = 39,97/1000 = 3,997%
Risposta
c = 3,997%
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,984 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(3%) = €1 233,58, P(4%) = €1 148,71
YTM = 3,984%
Risposta
YTM = 3,984%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,922 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.