Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €1 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €1 0005% / 12n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 11 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 4% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 11? Trova FV.
A = €3 000i = 4%n = 11
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €9 000, €11 000, €13 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e rende €6 000, €5 500, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 4 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5% al 7%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 4y1 = 5%y2 = 7%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 5 anni e quota €1 070. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 5P = €1 070
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 7,97%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €40,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 8%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
9.Analisi del punto di pareggioMedia
Un prodotto si vende a €6 l'unità con un costo variabile di €4 per unità. I costi fissi sono €10 000 al mese. Quante unità Q vanno vendute al mese per ottenere un utile di €10 000?
F = €10 000p = €6v = €4utile = €10 000
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 630 unità al mese a €19 l’una, con un costo variabile di €4 per unità e costi fissi di €7 500 al mese. Il costo variabile aumenta di €5 per unità e il prezzo resta invariato. Quante unità Q si devono ora vendere al mese per mantenere lo stesso utile?
Q = 630p = €19v = €4 → €9F = €7 500
Q = unità
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 1349 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,04)11 − 1)/0,04 = 13,49
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 3 000·13,49·1,04 = €42 077,42
Risposta
FV = €42 077,42
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 5766 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 14 000/1,12 = 12 500,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 9 000/1,254 = 7 174,74
CF3/(1 + 0,12)3 = 11 000/1,405 = 7 829,58
CF4/(1 + 0,12)4 = 13 000/1,574 = 8 261,74
Sommali
NPV = €5 766,06
Risposta
NPV = €5 766,06
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 24,53 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valore finale delle entrate
6 000·1,12 = 7 260,00
5 500·1,11 = 6 050,00
6 000·1,10 = 6 000,00
TV = 19 310,00
MIRR
MIRR = (19 310,00/10 000)1/3 − 1 = 24,53%
Risposta
MIRR = 24,53%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −64,57 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 070 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 094,27, P(3%) = €1 045,80
YTM = 2,494%
Risposta
YTM = 2,494%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,004 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Parte del debito nel WACC
0,1667·4%·(1 − 0,3) = 0,4667%
Costo del capitale proprio
re = (7,97% − 0,4667%)/0,8333 = 9,004%
Risposta
re = 9,004%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,93 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).