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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
Analisi del punto di pareggio
Margine di contribuzione
CM = p − v
Quantità di pareggio
QBE = FC/(p − v)
Utile obiettivo
Q = (FC + profit)/(p − v)
Utile
π = (p − v)·Q − FC
Margine di sicurezza
(Q − QBE)/Q
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 22%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 22%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0003,6% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €9 000, €6 000, €7 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €20 000 e restituisce €11 000, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 14 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 2% e scade tra 4 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 2,5% al 4,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 2%n = 4y1 = 2,5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €1 075 con un rendimento a scadenza del 3% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 6,8 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 25 punti base.
P0 = €1 075y = 3%D = 6,8Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 7,11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 12%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 6%, 7 anni alla scadenza) quotate €973 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un prodotto può essere fabbricato in due modi. Il metodo A ha costi fissi di €20 000 all’anno e un costo variabile di €12 per unità. Il metodo B, più automatizzato, ha costi fissi di €30 000 all’anno e un costo variabile di €8 per unità. A quale volume annuo Q i due metodi costano uguale?
FA = €20 000vA = €12FB = €30 000vB = €8
Q = unità
10.Analisi del punto di pareggioDifficile
Un’azienda vende 1 500 unità a €18 l’una, con un costo variabile di €15 per unità e costi fissi di €3 600. Di quale percentuale %ΔΠ varia l’utile operativo se il volume delle vendite diminuisce del 12%?
Q = 1 500p = €18v = €15F = €3 600%ΔQ = −12%
%ΔΠ = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 23,21 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,22/2 = 0,11
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,11)2 − 1 = 1,232 − 1 = 23,21%
Risposta
EAR = 23,21%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 336 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 15 000·0,003/(1 − 0,8661) = €336,01
Risposta
A = €336,01
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −292,1 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 9 000/1,06 = 8 490,57
CF2/(1 + 0,06)2 = 6 000/1,124 = 5 339,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 7 000/1,191 = 5 877,33
Sommali
NPV = €−292,12
Risposta
NPV = €−292,12
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 16,98 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 529,30
NPV(20%) = −763,89
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 15 + 5·529,30/(529,30 − (−763,89)) = 17,05%
esatto: NPV(16,98%) = 0 → IRR = 16,98%
Risposta
IRR = 16,98%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −70,88 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 6,8/1,03 = 6,602
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −6,602·(0,0025) = −1,65%
P ≈ 1075·(1 − 0,0165) = €1 057,26
Risposta
P = €1 057,26
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 11,99 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Parte del debito nel WACC
0,5·3%·(1 − 0,258) = 1,113%
Costo del capitale proprio
re = (7,11% − 1,113%)/0,5 = 11,99%
Risposta
re = 11,99%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,751 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costi-volumi-risultati: ogni unità venduta porta un margine di contribuzione, prezzo meno costo variabile unitario. Utile = Q·(p − v) − F, dove F è il costo fisso. Al punto di pareggio l'utile è zero, quindi Q = F/(p − v).
Costi totali uguali
20 000 + 12Q = 30 000 + 8Q
Ricava Q
Q = (30 000 − 20 000)/(12 − 8) = 2 500
Risposta
Q = 2 500 unità
Al di sotto di questo volume è più economico il metodo A; al di sopra è più economico il metodo automatizzato B.
10.Analisi del punto di pareggio
Risposta: %ΔΠ = −60 %
Leva operativa: i costi fissi fanno reagire l’utile più intensamente delle vendite. Il grado di leva operativa DOL = margine di contribuzione/utile operativo indica che una variazione dell’1% delle vendite fa variare l’utile del DOL %. È molto alto appena sopra il pareggio e diminuisce al crescere delle vendite.