Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa calcola l'algoritmo di Floyd–Warshall, e con quale velocità?

  1. AUn ordinamento topologico in O(V²)
  2. BI cammini minimi da un vertice sorgente a tutti gli altri in O(V + E)
  3. CI cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
  4. DUn albero ricoprente minimo in O(E log V)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione su P e NP è corretta?

  1. ALe soluzioni dei problemi NP non possono essere verificate rapidamente
  2. BÈ stato dimostrato che P ≠ NP
  3. CNP significa «non polinomiale»
  4. DOgni problema in P appartiene anche a NP
3.Strutture datiMedia

Una coda è implementata con due pile: push su una pila «in» e pop da una pila «out», che viene riempita da «in» quando è vuota. Qual è il costo ammortizzato per operazione?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.Strutture datiDifficile

Inserendo una chiave in un albero AVL il sottoalbero sinistro di un nodo diventa troppo alto, e la nuova chiave è finita nel sottoalbero sinistro del suo figlio sinistro (caso sinistra-sinistra). Quale correzione si applica?

  1. AUna singola rotazione a sinistra sul nodo sbilanciato
  2. BLa ricolorazione del nodo e del figlio
  3. CUna singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
  4. DUna rotazione a sinistra sul figlio, poi una rotazione a destra sul nodo
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
1273911132714ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)

Perché è questa la risposta

Floyd–Warshall è un algoritmo di programmazione dinamica che ammette a turno ogni vertice come punto intermedio, con tempo O(V³).

Risposta

C · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ogni problema in P appartiene anche a NP

Perché è questa la risposta

P ⊆ NP: se puoi risolvere un problema rapidamente, puoi verificarne rapidamente una soluzione. Se P = NP è ancora una questione aperta.

Risposta

D · Ogni problema in P appartiene anche a NP
3.Strutture dati

Risposta: B · O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni elemento subisce in totale al massimo due push e due pop, quindi anche se un singolo riempimento può costare O(n), la media su una sequenza è O(1).

Risposta

B · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: C · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato

Perché è questa la risposta

Nel caso sinistra-sinistra una rotazione a destra solleva il figlio sinistro e ripristina il bilanciamento; i casi a zig-zag richiedono una doppia rotazione.

Risposta

C · Una singola rotazione a destra sul nodo sbilanciato
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 12, C: 7
2. C (7): B: 10, E: 18
3. B (10): D: 19
4. E (18): F: 25
5. D (19): F: 21
6. F (21)

passo 4

E

Risposta

E

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