Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa ha stabilito il teorema di Cook–Levin?

  1. AIl problema della fermata è indecidibile
  2. BOgni problema NP si può risolvere in tempo esponenziale
  3. CP è diverso da NP
  4. DIl problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
3.Strutture datiMedia

In una tabella hash con indirizzamento aperto, qual è il massimo fattore di carico possibile?

  1. ANon c'è un massimo
  2. B2
  3. C0,5
  4. D1
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. AOgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
  2. BOgni nodo deve essere rosso
  3. COgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
  4. DLa radice deve essere rossa
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
15101277813810ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(2ⁿ)

Perché è questa la risposta

Il numero di chiamate raddoppia a ogni livello e ci sono n livelli, quindi il totale è circa 2ⁿ, come nella Torre di Hanoi.

Risposta

C · O(2ⁿ)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo

Perché è questa la risposta

Cook e Levin dimostrarono indipendentemente che ogni problema in NP si riduce a SAT in tempo polinomiale, quindi SAT fu il primo problema NP-completo noto.

Risposta

D · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
3.Strutture dati

Risposta: D · 1

Perché è questa la risposta

Con l'indirizzamento aperto tutte le chiavi sono memorizzate nella tabella stessa, quindi n non può superare m; con il concatenamento separato il fattore di carico può essere maggiore di 1.

Risposta

D · 1
4.Strutture dati

Risposta: A · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

A · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Risposta

L = 6

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 37

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 15, C: 10
C (10)
B (15): D: 22, G: 28
D (22): E: 29
G (28)
E (29): F: 37
F (37)

Cammino minimo

A → B → D → E → F
d(F) = 37

Risposta

d(F) = 37

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