Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con una tabella bottom-up?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra con uno heap binario su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V³)
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati si usa per verificare se le parentesi in "{[()]}" sono bilanciate?

  1. AUna tabella hash
  2. BUna coda
  3. CUna pila
  4. DUn albero binario di ricerca
4.Strutture datiDifficile

Le chiavi 5, 3, 8, 1 vengono inserite in quest'ordine in un min-heap binario vuoto basato su array. Qual è l'array finale?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da B a E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n)

Perché è questa la risposta

Riempire la tabella da 0 a n richiede un'addizione per voce, quindi il lavoro è lineare anziché esponenziale.

Risposta

B · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O((V + E) log V)

Perché è questa la risposta

Ci sono V operazioni extract-min e fino a E operazioni decrease-key, ciascuna O(log V); uno heap di Fibonacci migliora a O(E + V log V).

Risposta

C · O((V + E) log V)
3.Strutture dati

Risposta: C · Una pila

Perché è questa la risposta

Si inserisce (push) ogni parentesi aperta e si estrae (pop) quando compare una parentesi chiusa; questa deve corrispondere a quella estratta e alla fine la pila deve essere vuota.

Risposta

C · Una pila
4.Strutture dati

Risposta: D · [1, 3, 8, 5]

Perché è questa la risposta

Dopo 5, 3, 8 l'array è [3, 5, 8]; 1 va all'indice 3, si scambia con il genitore 5 e poi con 3, dando [1, 3, 8, 5].

Risposta

D · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)BE = 1·0 + 3·0 + 1·1 + 0·1 + 2·0 = 1

Risposta

N = 1

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