Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Una funzione esegue un ciclo di n iterazioni e poi, separatamente, un altro ciclo di n iterazioni. Qual è la sua complessità temporale?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale tecnica garantisce al quicksort un tempo di esecuzione atteso O(n log n) su qualsiasi input?

  1. AOrdinare l'input prima di eseguire il quicksort
  2. BScegliere sempre il primo elemento
  3. CScegliere il pivot in modo uniformemente casuale
  4. DUsare la ricorsione solo sul lato sinistro
3.Strutture datiMedia

Come si trova la chiave minima in un albero binario di ricerca?

  1. ASi seguono i figli destri dalla radice finché non c'è più un figlio destro
  2. BSi guarda solo la radice
  3. CSi visitano tutte le foglie e le si confronta
  4. DSi seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
4.Strutture datiDifficile

Quali sono i costi in tempo e in spazio aggiuntivo dell'inversione sul posto di una lista concatenata semplice?

  1. ATempo O(n) e spazio aggiuntivo O(n)
  2. BTempo O(n log n) e spazio aggiuntivo O(1)
  3. CTempo O(1) e spazio aggiuntivo O(1)
  4. DTempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 6 vertici e 7 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 6|E| = 7
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
414515861014116ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

n + n = 2n, e i fattori costanti si eliminano, quindi la funzione è O(n).

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Scegliere il pivot in modo uniformemente casuale

Perché è questa la risposta

Con un pivot casuale il tempo atteso è O(n log n) per ogni input; i casi sfavorevoli esistono ancora ma sono molto improbabili.

Risposta

C · Scegliere il pivot in modo uniformemente casuale
3.Strutture dati

Risposta: D · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro

Perché è questa la risposta

Il nodo più a sinistra non ha chiavi minori nell'albero, quindi è il minimo; il costo è proporzionale all'altezza.

Risposta

D · Si seguono i figli sinistri dalla radice finché non c'è più un figlio sinistro
4.Strutture dati

Risposta: D · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)

Perché è questa la risposta

Mantenendo tre puntatori (precedente, corrente, successivo) si può invertire ogni collegamento in un solo passaggio senza allocare nuovi nodi.

Risposta

D · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 2

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

6 − 1 = 5

Lati da togliere

k = 7 − 5 = 2

Risposta

k = 2
6.Teoria dei grafi

Risposta: G

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 4
2. B (4): C: 18, D: 9, G: 14
3. D (9): F: 17
4. G (14): E: 20
5. F (17)
6. C (18)
7. E (20)

passo 4

G

Risposta

G

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