Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lavoro O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come rileva l'algoritmo di Bellman–Ford un ciclo di peso negativo raggiungibile dalla sorgente?

  1. AConta i cicli con una visita in profondità
  2. BEsegue due volte l'algoritmo di Dijkstra e confronta i due risultati delle distanze
  3. CDopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
  4. DControlla se qualche arco ha peso negativo
3.Strutture datiMedia

Come si inserisce un nuovo elemento in un heap binario?

  1. ALo si pone nella radice e lo si fa scendere
  2. BSi ricostruisce da zero l'intero heap
  3. CLo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
  4. DLo si inserisce nella posizione ordinata spostando di un posto a destra tutti gli elementi più grandi
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà mantiene ogni B-albero perfettamente bilanciato?

  1. ATutte le foglie sono alla stessa profondità
  2. BOgni nodo memorizza una sola chiave
  3. CLe chiavi sono memorizzate solo nella radice
  4. DOgni nodo ha esattamente due figli
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
81015922113ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n²)

Perché è questa la risposta

Il corpo interno viene eseguito in totale n(n + 1) / 2 volte, che è comunque quadratico.

Risposta

A · O(n²)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato

Perché è questa la risposta

Tutte le vere distanze minime si trovano entro V − 1 turni; se un arco può ancora essere migliorato, deve esistere un ciclo negativo.

Risposta

C · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
3.Strutture dati

Risposta: C · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap

Perché è questa la risposta

Aggiungere alla fine mantiene l'albero completo; gli scambi con il genitore ripristinano l'ordine in O(log n) passi.

Risposta

C · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture dati

Risposta: A · Tutte le foglie sono alla stessa profondità

Perché è questa la risposta

I nodi pieni si dividono verso l'alto e l'albero diventa più alto solo quando si divide la radice, quindi tutte le foglie restano sempre allo stesso livello.

Risposta

A · Tutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

A, E → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: C

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 8, C: 10
2. B (8): E: 21
3. C (10): E: 19
4. E (19): D: 21, F: 20
5. F (20)
6. D (21)

passo 3

C

Risposta

C

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