Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale affermazione su una funzione ricorsiva senza un caso base raggiungibile è corretta?

  1. AIl compilatore la trasforma sempre in un ciclo che termina in modo sicuro
  2. BRestituisce automaticamente 0
  3. CContinua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
  4. DViene eseguita in tempo O(1)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

La moltiplicazione di Karatsuba soddisfa T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual è la soluzione?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(nlog₂ 3), circa n1,585
3.Strutture datiMedia

Un albero binario ha radice 1 con figlio sinistro 2 e figlio destro 3; il nodo 2 ha figli 4 (sinistro) e 5 (destro). Qual è la visita in postordine?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C5 4 3 2 1
  4. D1 2 4 5 3
4.Strutture datiDifficile

Quanto tempo serve per cercare una chiave arbitraria in un min-heap binario di n elementi?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1618197201176ABCDEF

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4; i lati saltati non contano.

k = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato DF
  8. 8lato EF

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

Perché è questa la risposta

Senza caso base la ricorsione non si ferma mai; in pratica la memoria per gli stack frame si esaurisce e il programma va in crash.

Risposta

C · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585

Perché è questa la risposta

Poiché log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, per il teorema dell'esperto dominano le foglie, battendo il metodo scolastico O(n²).

Risposta

D · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585
3.Strutture dati

Risposta: B · 4 5 2 3 1

Perché è questa la risposta

La visita in postordine elabora 4 e 5 prima di 2, poi 3 e infine la radice 1.

Risposta

B · 4 5 2 3 1
4.Strutture dati

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Un heap non fornisce alcuna regola su quale sottoalbero contenga una chiave, quindi nel caso peggiore bisogna controllare tutti i nodi; solo il minimo si trova rapidamente.

Risposta

A · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vertici dispari

A, D → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AB

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. DE (1)
2. EF (6)
3. BD (7)
4. AB (16)
5. AC (18)

lato numero 4

AB

Risposta

lato AB

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