Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è il costo ammortizzato dell'incremento di un contatore binario, dato che un incremento può invertire molti bit?

  1. AO(n) per incremento
  2. BO(log n) per incremento
  3. CO(n log n) per incremento
  4. DO(1) per incremento
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa la visita in profondità (DFS) nella versione iterativa?

  1. AUna coda
  2. BUno stack
  3. CUn heap
  4. DSolo una tabella hash
4.Strutture datiDifficile

Qual è il tempo di esecuzione della visita in ampiezza (BFS) su un grafo con V vertici memorizzato come matrice di adiacenza?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
41912111925ABCDEF

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4; i lati saltati non contano.

k = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato CE
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il ciclo interno viene eseguito circa log₂ n volte per ciascuna delle n iterazioni esterne, da cui O(n log n).

Risposta

D · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(1) per incremento

Perché è questa la risposta

Su n incrementi il bit i si inverte circa n / 2ⁱ volte, quindi il totale è inferiore a 2n inversioni, in media O(1) ciascuno.

Risposta

D · O(1) per incremento
3.Strutture dati

Risposta: B · Uno stack

Perché è questa la risposta

La DFS esplora il più in profondità possibile, usando naturalmente uno stack (o lo stack delle chiamate della ricorsione); la BFS usa una coda.

Risposta

B · Uno stack
4.Strutture dati

Risposta: B · O(V²)

Perché è questa la risposta

Ognuno dei V vertici scorre una riga di V elementi, per un totale di O(V²); con le liste di adiacenza la BFS è O(V + E).

Risposta

B · O(V²)
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vertici dispari

B, E → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato BE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. DE (1)
2. EF (2)
3. AB (4)
4. BE (5)
5. CE (11)

lato numero 4

BE

Risposta

lato BE

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